《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.
甲：因为 $ -6＜a＜8,-4＜b＜2 $，所以 $ -2＜a - b＜6 $.
乙：因为 $ 2＜b＜3 $，所以 $ \frac{1}{3}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{2} $，又因为 $ -6＜a＜8 $，所以 $ -2＜\frac{a}{b}＜4 $.
丙：因为 $ 2＜a - b＜4 $，所以 $ -4＜b - a＜-2 $.又因为 $ -2＜a + b＜2 $，所以 $ 0＜a＜3,-3＜b＜0 $，所以 $ -3＜a + b＜3 $.

答案： 10.解 甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.
乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道$-6＜a＜8$，不明确$a$值的正负.故不能将$\frac{1}{3}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{2}$与$-6＜a＜8$两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.
丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将$2＜a-b＜4$与$-2＜a+b＜2$两边相加得$0＜a＜3$，又将$-4＜b-a＜-2$与$-2＜a+b＜2$两边相加得出$-3＜b＜0$，又将该式与$0＜a＜3$两边相加得出$-3＜a+b＜3$，多次使用了这种转化，导致了$a+b$范围的扩大.

11. 已知 $ x＞y＞z,x + y + z = 0 $，则下列不等式中一定成立的是(C)

A.$ xy＞yz $
B.$ xz＞yz $
C.$ xy＞xz $
D.$ x|y|＞z|y| $

答案： 11.C 因为$x＞y＞z,x+y+z=0$，
所以$3x＞x+y+z=0,3z＜x+y+z=0$，
所以$x＞0,z＜0$.所以由$\begin{cases} x＞0, \\ y＞z \end{cases}$可得$xy＞xz$．

12. 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 $ a,b,c,d $，已知 $ a + b = c + d,a + d＞b + c,a + c＜b $，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(A)

A.$ d＞b＞a＞c $
B.$ b＞c＞d＞a $
C.$ d＞b＞c＞a $
D.$ c＞a＞d＞b $

答案： 12.A $\because a+b=c+d,a+d＞b+c$，
$\therefore a+d+(a+b)＞b+c+(c+d)$，即$a＞c$．
又$a+c＜b,\therefore a＜b$．
综上可得，$d＞b＞a＞c$．

13. 已知三个不等式：① $ ab＞0 $；② $ \frac{c}{a}＞\frac{d}{b} $；③ $ bc＞ad $. 若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成3个正确命题.

答案： 13.3 ①②$\Rightarrow$③，③①$\Rightarrow$②(证明略)
由②得$\frac{bc-ad}{ab}＞0$，又由③得$bc-ad＞0$，
所以$ab＞0$，②③$\Rightarrow$①．
所以可以组成3个正确命题．

14. 某高校在 2022 年 9 月初共有 $ m $ 名在校学生，其中有 $ n(m＞n) $ 名新生，在 9 月底，又补录了 $ b $ 名学生，则新生占学生的比例变大(填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为若$m＞n＞0,b＞0$，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+b}{m+b}$.

答案： 14.变大 若$m＞n＞0,b＞0$，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+b}{m+b}$ 由题意补录了$b$名学生，
新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必
增大．
由于补录后新生人数变为$n+b$，在校生人数增加为$m+b$，
故所对应的不等式模型是$\frac{n}{m}＜\frac{n+b}{m+b}$，
即若$m＞n＞0,b＞0$，则$\frac{n}{m}＜\frac{n+b}{m+b}$．

15. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 满足以下条件：
①该函数图象过原点；②当 $ x = -1 $ 时，$ y $ 的取值范围为大于等于 1 且小于等于 2；③当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 的取值范围为大于等于 3 且小于等于 4.
求当 $ x = -2 $ 时，$ y $ 的取值范围.

答案： 15.解 $\because$二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象过原点，
$\therefore c=0,\therefore y=ax^{2}+bx$．
又$\because$当$x=-1$时，$1\le a-b\le 2$．①
当$x=1$时，$3\le a+b\le 4$，②
$\therefore$当$x=-2$时，$y=4a-2b$．
设存在实数$m,n$，
使得$4a-2b=m(a+b)+n(a-b)$，
而$4a-2b=(m+n)a+(m-n)b$，
$\therefore \begin{cases}m+n=4, \\ m-n=-2 \end{cases}$
解得$m=1,n=3$，
$\therefore 4a-2b=(a+b)+3(a-b)$．
由①②可知$3\le a+b\le 4,3\le 3(a-b)\le 6$，
$\therefore 3+3\le 4a-2b+4+6$，
即$6\le 4a-2b\le 10$，
故当$x=-2$时，$y$的取值范围是大于等于$6$且小于等于$10$．