《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ 2x + 8y - xy = 0 $，求：
（1）$ xy $ 的最小值；
（2）$ x + y $ 的最小值。

答案： 10.解
(1)方法一 由$x ＞ 0,y ＞ 0$,且$2x + 8y - xy = 0$,得$\frac{8}{x} + \frac{2}{y} = 1$，
则$1 = \frac{8}{x} + \frac{2}{y} \geqslant 2\sqrt{\frac{8}{x} · \frac{2}{y}} = \frac{8}{\sqrt{xy}}$，得$xy \geqslant 64$，
当且仅当$\frac{8}{x} = \frac{2}{y}$,即$x = 16,y = 4$时，等号成立.
所以$xy$的最小值为$64$.
方法二 因为$x ＞ 0,y ＞ 0$,且$2x + 8y - xy = 0$，
所以$xy = 2x + 8y \geqslant 2\sqrt{2x · 8y}$，
所以$\sqrt{xy} \geqslant 8$,$xy \geqslant 64$，
当且仅当$2x = 8y$,即$x = 16,y = 4$时，等号成立，
所以$xy$的最小值为$64$.
(2)由
(1)可得$\frac{8}{x} + \frac{2}{y} = 1$，
则$x + y = \left(\frac{8}{x} + \frac{2}{y}\right) · (x + y)$
$= 10 + \frac{2x}{y} + \frac{8y}{x} \geqslant 10 + 2\sqrt{\frac{2x}{y} · \frac{8y}{x}} = 18$，
当且仅当$\frac{2x}{y} = \frac{8y}{x}$,即$x = 12$且$y = 6$时等号成立，
所以$x + y$的最小值为$18$.

11. 已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ ab = 1 $，且 $ m = b + \frac{1}{a} $，$ n = a + \frac{1}{b} $，则 $ m + n $ 的最小值是(B)

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $

答案： 11.B $\because a ＞ 0,b ＞ 0,ab = 1,\therefore m + n = b + \frac{1}{a} + a + \frac{1}{b} = 2a + 2b \geqslant 2\sqrt{4ab} = 4$，当且仅当$a = b = 1$时，等号成立.即$m + n$的最小值为$4$.

12. 设自变量 $ x $ 对应的因变量为 $ y $，在满足对任意的 $ x $，不等式 $ y \leq M $ 都成立的所有常数 $ M $ 中，将 $ M $ 的最小值叫做 $ y $ 的上确界。若 $ a $，$ b $ 为正实数，且 $ a + b = 1 $，则 $ -\frac{1}{2a} - \frac{2}{b} $ 的上确界为(A)

A.$ -\frac{9}{2} $
B.$ \frac{9}{2} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.$ -4 $

答案： 12.A 因为$a,b$为正实数，且$a + b = 1$，
所以$\frac{1}{2a} + \frac{2}{b} = \left(\frac{1}{2a} + \frac{2}{b}\right)(a + b) = \frac{5}{2} + \left(\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b}\right) \geqslant \frac{5}{2} + 2\sqrt{\frac{b}{2a} · \frac{2a}{b}} = \frac{9}{2}$，
当且仅当$b = 2a$,即$a = \frac{1}{3},b = \frac{2}{3}$时，等号成立.
因此有$\frac{1}{2a} - \frac{2}{b} \leqslant - \frac{9}{2}$，
即$- \frac{1}{2a} - \frac{2}{b}$的上确界为$- \frac{9}{2}$.

13. (多选)若 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，$ x + 2y = 1 $，则下列说法正确的是(AB)

A.$ xy $ 的最大值是 $ \frac{1}{8} $
B.$ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} $ 的最小值是 $ 8 $
C.$ 4x^2 + y^2 $ 的最小值为 $ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{(x + 1)(2y + 1)}{\sqrt{xy}} $ 的最小值是 $ 4 $

答案： 13.AB $\because x + 2y = 1 \geqslant 2\sqrt{2xy}$，
$\therefore xy \leqslant \frac{1}{8}$,当且仅当$\begin{cases} x + 2y = 1,\\x = 2y,\end{cases}$
即$\begin{cases} x = \frac{1}{2},\\y = \frac{1}{4}\end{cases}$时等号成立，故A正确；
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right)(x + 2y) = 4 + \frac{4y}{x} + \frac{x}{y} \geqslant 4 + 2\sqrt{4} = 8$，
当且仅当$\begin{cases} \frac{4y}{x} = \frac{x}{y},\\x + 2y = 1,\end{cases}$即$\begin{cases} x = \frac{1}{2},\\y = \frac{1}{4}\end{cases}$时等号成立，故B正确；
$4x^{2} + y^{2} = 4(1 - 2y)^{2} + y^{2} = 17y^{2} - 16y + 4$
$= 17\left(y - \frac{8}{17}\right)^{2} + \frac{4}{17} \geqslant \frac{4}{17}$，
当且仅当$y = \frac{8}{17}$时等号成立，故C错误；
$(x + 1)(2y + 1) = \frac{2xy + 2}{\sqrt{xy}} = 2\left(\sqrt{xy} + \frac{1}{\sqrt{xy}}\right) \geqslant 4$，
当且仅当$xy = 1$时等号成立，而$0 ＜ xy \leqslant \frac{1}{8}$，
$\therefore$等号不成立，故D错误.

14. 设 $ 0 ＜ x ＜ 1 $，则当 $ \frac{1}{1 - x} + \frac{4}{x} $ 取得最小值时，$ x $ 的值是$\frac{2}{3}$。

答案： 14.$\frac{2}{3}$ 由$0 ＜ x ＜ 1$,得$1 - x ＞ 0$,由基本不等式可得$\frac{1}{1 - x} + \frac{4}{x} = [(1 - x) + x] · \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{4}{x}\right)$
$= \frac{x}{1 - x} + \frac{4(1 - x)}{x} + 5$
$\geqslant 2\sqrt{\frac{x}{1 - x} · \frac{4(1 - x)}{x}} + 5 = 9$，
当且仅当$\frac{x}{1 - x} = \frac{4(1 - x)}{x}$,即$x = \frac{2}{3}$时，等号成立.

15. 已知正实数 $ a $，$ b $ 满足 $ a + 2b + 5 = ab $，且不等式 $ \frac{m}{2a + b} \geq \frac{10 - 2ab}{a + 2b + 5} $ 恒成立，求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 15.解 因为正实数$a,b$满足$a + 2b + 5 = ab,\frac{m}{a + b} = \frac{10 - 2ab}{a + 2b + 5}$，
所以$m \geqslant \frac{(10 - 2ab)(2a + b)}{a + 2b + 5} = \frac{(2a + 4b)(2a + b)}{ab} = - \left(\frac{2}{b} + \frac{4}{a}\right)(2a + b)$，
而$\left(\frac{2}{b} + \frac{4}{a}\right)(2a + b) = \frac{4a}{b} + \frac{4b}{a} + 10 \geqslant 2\sqrt{\frac{4a}{b} · \frac{4b}{a}} + 10 = 18$，
当且仅当$\frac{4a}{b} = \frac{4b}{a}$,即$a = b = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$时取等号，
所以$- \left(\frac{2}{b} + \frac{4}{a}\right)(2a + b) \leqslant - 18$，
所以实数$m$的取值范围为$\{m \mid m \geqslant - 18\}$.