《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$ 的图象过点 $A(1,-2)$，$B(-1,0)$，且与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 交于点 $M(3,4)$，
(1)求二次函数与反比例函数的表达式；
(2)若对 $\forall x\in\mathbf{R}$，$ax^{2}+bx + c\geq mx - 3$ 恒成立，求参数 $m$ 的取值范围。

答案： 10.解　
(1)$\because$点$M(3,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，故有$4=\frac{k}{3}$，
解得$k=12$，从而反比例函数为$y=\frac{12}{x}$，
又$\because$二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$的图象过点$A,B,M$，
$\therefore\begin{cases}a+b+c=-2,\\a-b+c=0,\\9a+3b+c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-1,\\c=-2.\end{cases}$
$\therefore y=x^{2}-x-2$.
(2)由
(1)知，二次函数的表达式为$y=x^{2}-x-2$，
故有$x^{2}-x-2\geqslant mx-3$在$\mathbf{R}$上恒成立，
即$x^{2}-(m+1)x+1\geqslant0$在$\mathbf{R}$上恒成立，
又$\Delta=[-(m+1)]^{2}-4=m^{2}+2m-3$，
$\therefore m^{2}+2m-3\leqslant0$，解得$-3\leqslant m\leqslant1$.
$\therefore m$的取值范围为$\{m\mid-3\leqslant m\leqslant1\}$.

11. 若不等式 $(a - 3)x^{2}+2(a - 2)x - 4\lt0$ 对于一切 $x\in\mathbf{R}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是(C)

A.$(-\infty,2]$
B.$[-2,2]$
C.$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$
D.$(-\infty,2)$

答案： 11.C　当$a-3=0$，即$a=3$时，不等式化为$2x-4＜0$，解得$x＜2$，不满足题意；
当$a\neq3$时，需满足$\begin{cases}a-3＜0,\\\Delta=4(a-2)^{2}-4×(a-3)×(-4)＜0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a＜3,\\-2\sqrt{2}＜a＜2\sqrt{2},\end{cases}$
$\therefore-2\sqrt{2}＜a＜2\sqrt{2}$.
综上，实数$a$的取值范围是$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$.

12. 对任意 $x$ 满足 $-1\leq x\leq2$，不等式 $x^{2}-2x + a\lt0$ 成立的必要不充分条件是(C)

A.$a\lt - 3$
B.$a\lt - 4$
C.$a\lt0$
D.$a\gt0$

答案： 12.C　因为$x^{2}-2x+a＜0$，
所以$a＜-x^{2}+2x$，
又因为$-1\leqslant x\leqslant2$，
$-x^{2}+2x=-(x-1)^{2}+1\geqslant-3$，
所以$a＜-3$，
又因为求“对任意$x$满足$-1\leqslant x\leqslant2$，不等式$x^{2}-2x+a＜0$成立的必要不充分条件”，
所以C正确.

13. 若存在 $1\leq a\leq3$，使得不等式 $ax^{2}+(a - 2)x - 2\gt0$ 成立，则实数 $x$ 的取值范围为$\{x\mid x＜-1,或x＞\frac{2}{3}\}$。

答案： 13.$\{x\mid x＜-1,或x＞\frac{2}{3}\}$　令$f(a)=ax^{2}+(a-2)x-2=(x^{2}+x)· a-2x-2$，是关于$a$的函数，由题意得
$f(1)=(x^{2}+x)-2x-2＞0$或$f(3)=(x^{2}+x)·3-2x-2＞0$，
即$x^{2}-x-2＞0$①，或$3x^{2}+x-2＞0$②.
解①可得$x＜-1$或$x＞2$，解②可得$x＜-1$或$x＞\frac{2}{3}$.
则实数$x$的取值范围为$\{x\mid x＜-1,或x＞\frac{2}{3}\}$.

14. 关于 $x$ 的不等式 $(a^{2}-1)x^{2}-(a - 1)x - 1\leq0$ 的解集为 $\mathbf{R}$，则实数 $a$ 的取值范围是$\{a\mid-\frac{3}{5}\leqslant a\leqslant1\}$。

答案： 14.$\{a\mid-\frac{3}{5}\leqslant a\leqslant1\}$　当$a^{2}-1=0$时，$a=1$或$a=-1$，
若$a=1$，不等式为$-1\leqslant0$，恒成立，
若$a=-1$，不等式为$2x-1\leqslant0$，
解得$x\leqslant\frac{1}{2}$，不符合题意，
当$a^{2}-1\neq0$时，
若要不等式$(a^{2}-1)x^{2}-(a-1)x-1\leqslant0$的解集为$\mathbf{R}$，
则$a^{2}-1＜0$，且$\Delta=(a-1)^{2}+4(a^{2}-1)\leqslant0$，
解得$-\frac{3}{5}\leqslant a＜1$，
综上可得$-\frac{3}{5}\leqslant a\leqslant1$.

15. 已知函数 $y = mx^{2}-mx - 6 + m$，若对于 $1\leq m\leq3$，$y\lt0$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围。

答案： 15.解　$y＜0\Leftrightarrow mx^{2}-mx-6+m＜0\Leftrightarrow(x^{2}-x+1)m-6＜0$.
$\because1\leqslant m\leqslant3$，
$\therefore x^{2}-x+1＜\frac{6}{m}$恒成立，
$\therefore x^{2}-x+1＜\frac{6}{3}\Leftrightarrow x^{2}-x-1＜0\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$\therefore$实数$x$的取值范围为$\{x\mid\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}\}$.