《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 设 $x \in \mathbf{R}$,集合 $A$ 中含有三个元素 $3,x,x^2 - 2x$.
(1) 求元素 $x$ 应满足的条件;
(2) 若 $-2 \in A$,求实数 $x$ 的值.

答案： 10.解　
(1)由集合中元素的互异性可得x≠3，x² - 2x≠x，且x² - 2x≠3，解得x≠ - 1，x≠0，且x≠3.
(2)若 - 2∈A，则x = - 2或x² - 2x = - 2.由于方程x² - 2x + 2 = 0无实数解，所以x = - 2.经检验，知x = - 2时三个元素符合互异性.故x = - 2.

11. (多选)由 $a^2,2 - a,4$ 组成一个集合 $A$,且集合 $A$ 中含有 $3$ 个元素,则实数 $a$ 的取值不可能是(ABD)

A.$1$
B.$-2$
C.$-1$
D.$2$

答案： 11.ABD　由题意知a²≠4，2 - a≠4，a²≠2 - a，解得a≠±2，且a≠1，即a的取值不可能是1，±2.

12. 设集合 $A$ 含有 $-2,1$ 两个元素,$B$ 含有 $-1,2$ 两个元素,定义集合 $A \odot B$,满足 $x_1 \in A,x_2 \in B$,且 $x_1x_2 \in A \odot B$,则 $A \odot B$ 中所有元素之积为(C)

A.$-8$
B.$-16$
C.$8$
D.$16$

答案： 12.C　集合A⊙B中有2， - 4， - 1三个元素，故所有元素之积为8.

13. 已知集合 $A$ 含有两个元素 $1$ 和 $2$,集合 $B$ 表示方程 $x^2 + ax + b = 0$ 的解组成的集合,且集合 $A$ 与集合 $B$ 相等,则 $a$ = - 3;$b$ =2.

答案： 13. - 3 2　因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，所以1∈B，2∈B，即1,2是方程x² + ax + b = 0的两个实数根.由韦达定理得$\begin{cases} 1 + 2 = - a \\ 1×2 = b \end{cases}$，即$\begin{cases} a = - 3 \\ b = 2 \end{cases}$.

14. 已知 $x,y,z$ 为非零实数,代数式 $\frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|} + \frac{z}{|z|} + \frac{|xyz|}{xyz}$ 的值所组成的集合是 $M$,则 $M$ 中元素个数为3.

答案： 14.3　针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4,0,0, - 4，则M中的元素共3个.

15. 设集合 $A$ 中的元素均为实数,且满足条件:若 $a \in A$,则 $\frac{1}{1 - a} \in A(a \neq 1$,且 $a \neq 0)$.
求证:(1) 若 $2 \in A$,则 $A$ 中必还有另外两个元素;
(2) 集合 $A$ 不可能是单元素集.

答案： 15.证明　
(1)由题意知若a∈A，则$\frac{1}{1 - a}$∈A.又因为2∈A，所以$\frac{1}{1 - 2}$ = - 1∈A.因为 - 1∈A，所以$\frac{1}{1 - (-1)}$ = $\frac{1}{2}$∈A.因为$\frac{1}{2}$∈A，所以$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$ = 2∈A.所以A中另外两个元素为 - 1，$\frac{1}{2}$.
(2)若A为单元素集，则a = $\frac{1}{1 - a}$，即a² - a + 1 = 0，方程无实数解.所以a≠$\frac{1}{1 - a}$，所以集合A不可能是单元素集.