《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下面能表示“$a$与$b$的和是非正数”的不等式为(C)

A.$a + b ＜ 0$
B.$a + b ＞ 0$
C.$a + b \leq 0$
D.$a + b \geq 0$

答案： 1.C a与b的和是非正数，即a + b ≤ 0.

2. 李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存$60$元，计划从现在起以后每个月节省$30$元，直到他至少有$400$元。设$x$个月后他至少有$400$元，则可以用于计算所需要的月数$x$的不等式是(B)

A.$30x - 60 \geq 400$
B.$30x + 60 \geq 400$
C.$30x - 60 \leq 400$
D.$30x + 40 \leq 400$

答案： 2.B

3. 若$x \in \mathbf{R}$，$y \in \mathbf{R}$，则(A)

A.$x^{2} + y^{2} ＞ 2xy - 1$
B.$x^{2} + y^{2} = 2xy - 1$
C.$x^{2} + y^{2} ＜ 2xy - 1$
D.$x^{2} + y^{2} \leq 2xy - 1$

答案： 3.A 因为x² + y² - (2xy - 1) = x² - 2xy + y² + 1 = (x - y)² + 1 ＞ 0，
所以x² + y² ＞ 2xy - 1.

4. $19$世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数$p$，满足$p^{2} ＜ 2$，$q = p - \frac{p^{2} - 2}{p + 2}$，则$p$与$q$的大小关系为(A)

A.$p ＜ q$
B.$p ＞ q$
C.$p = q$
D.无法判断

答案： 4.A 因为$p - q = p - p + \frac{p² - 2}{p + 2} = \frac{p² - 2}{p + 2}$
而p² ＜ 2, p ＞ 0，
所以p² - 2 ＜ 0, p + 2 ＞ 0，
所以$\frac{p² - 2}{p + 2} ＜ 0,$即p ＜ q.

5. (多选)下列说法正确的是(BCD)

A.某人月收入$x$不高于$2000$元可表示为“$x ＜ 2000$”
B.小明的体重$x\ kg$，小华的体重$y\ kg$，则小明比小华重表示为“$x ＞ y$”
C.某变量$x$至少为$a$可表示为“$x \geq a$”
D.某变量$y$不超过$a$可表示为“$y \leq a$”

答案： 5.BCD 对于A，x应满足x ≤ 2000，故A错；B，C，D正确.

6. 已知$0 ＜ a_{1} ＜ 1$，$0 ＜ a_{2} ＜ 1$，记$M = a_{1}a_{2}$，$N = a_{1} + a_{2} - 1$，则$M$与$N$的大小关系是(B)

A.$M ＜ N$
B.$M ＞ N$
C.$M = N$
D.$M \geq N$

答案： 6.B
∵0 ＜ a₁ ＜ 1, 0 ＜ a₂ ＜ 1，
∴ -1 ＜ a₁ - 1 ＜ 0, -1 ＜ a₂ - 1 ＜ 0，
∴M - N = a₁a₂ - (a₁ + a₂ - 1) = a₁a₂ - a₁ - a₂ + 1 = 1 + a₁a₂ - (a₁ + a₂)
= (a₁ - 1)(a₂ - 1) - (a₂ - 1) = (a₁ - 1)(a₂ - 1) ＞ 0，
∴M ＞ N.

7. 某商品包装上标有重量$500 \pm 1$克，若用$x$表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为499 ≤ x ≤ 501。

答案： 7.499 ≤ x ≤ 501
∵某商品包装上标有重量500 ± 1克，
若用x表示商品的重量，则-1 ≤ x - 500 ≤ 1，
∴499 ≤ x ≤ 501.

8. 若$x = (a + 3)(a - 5)$，$y = (a + 2)(a - 4)$，则$x$与$y$的大小关系是x ＜ y。

答案： 8.x ＜ y 因为x - y = (a + 3)(a - 5) - (a + 2)(a - 4) = (a² - 2a - 15)
(a² - 2a - 8) = -7 ＜ 0，
所以x ＜ y.

9. 《铁路旅行常识》规定：旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过$160$厘米，杆状物品不得超过$200$厘米，重量不得超过$20$千克……
设旅客身高为$h$（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为$P$（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系。

答案： 9.解 由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系，解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示。
身高在1.2~1.5米可表示为1.2 ≤ h ≤ 1.5，
身高超过1.5米可表示为h ＞ 1.5，
身高不足1.2米可表示为h ＜ 1.2，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤ 160.如下表
文字 身高在1.2~1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号 表示 1.2 ≤ h ≤ 1.5 h ＞ 1.5 h ＜ 1.2 P ≤ 160