《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ y = x^{2} - 4x + 4 $ 的零点是(D)

A.$(2,0)$
B.$(0,4)$
C.$\pm 2$
D.$2$

答案： 1.D

2. 不等式 $ 3x^{2} - 2x + 1 ＞ 0 $ 的解集为(D)

A.$\{ x|-1 ＜ x ＜ \frac{1}{3}\}$
B.$\{ x|\frac{1}{3} ＜ x ＜ 1\}$
C.$\varnothing$
D.$\mathbf{R}$

答案： 2.D 因为$\Delta=(-2)^2-4×3×1=4 - 12=-8＜0$，$\therefore$抛物线$y = 3x^2 - 2x + 1$开口向上，与$x$轴无交点.
所以不等式$3x^2 - 2x + 1＞0$的解集为$\mathbf{R}$.

3. 不等式 $(x + 5)(3 - 2x) \geq 6$ 的解集是(D)

A.$\{ x|x \leq -1$，或 $x \geq \frac{9}{2}\}$
B.$\{ x|-1 \leq x \leq \frac{9}{2}\}$
C.$\{ x|x \leq -\frac{9}{2}$，或 $x \geq 1\}$
D.$\{ x|-\frac{9}{2} \leq x \leq 1\}$

答案： 3.D 方法一 取$x = 1$检验，满足，排除A；
取$x = 4$检验，不满足，排除B,C.
方法二 原不等式可化为$2x^2 + 7x - 9\leqslant0$，
即$(x - 1)(2x + 9)\leqslant0$，解得$-\frac{9}{2}\leqslant x\leqslant1$.

4. 不等式 $(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{3} - x) ＞ 0$ 的解集是(D)

A.$\{ x|\frac{1}{3} ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$
B.$\{ x|x ＞ \frac{1}{2}\}$
C.$\{ x|x ＜ \frac{1}{3}\}$
D.$\{ x|x ＜ \frac{1}{3}$，或 $x ＞ \frac{1}{2}\}$

答案： 4.D

5. 若集合 $ A = \{ x|(2x + 1)(x - 3) ＜ 0\}$，$ B = \{ x \in \mathbf{N}^{*}|x \leq 5\}$，则 $ A \cap B $ 等于(B)

A.$\{ 1,2,3\}$
B.$\{ 1,2\}$
C.$\{ 4,5\}$
D.$\{ 1,2,3,4,5\}$

答案： 5.B $(2x + 1)(x - 3)＜0$，$\therefore-\frac{1}{2}＜x＜3$，
又$x\in\mathbf{N}^*$且$x\leqslant5$，则$x = 1,2$.

6. (多选)函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的零点为(BD)

A.$(1,0)$
B.$1$
C.$(3,0)$
D.$3$

答案： 6.BD

7. 不等式 $ x^{2} - 4x + 4 ＞ 0 $ 的解集是$\{x|x\neq2\}$.

答案： 7.$\{x|x\neq2\}$ 原不等式可化为$(x - 2)^2＞0$，解得$x\neq2$.

8. 若 $ a ＜ 0 $，则关于 $ x $ 的不等式 $ a(x + 1)(x + \frac{1}{a}) ＜ 0 $ 的解集为.

答案： 8.$\begin{cases}x＞-\frac{1}{a},或x＜-1\end{cases}$ 因为$a＜0$，所以原不等式等价于$(x + 1)·(x+\frac{1}{a})＞0$，方程$(x + 1)(x+\frac{1}{a})=0$的两根为$-1,-\frac{1}{a}$，显然$-\frac{1}{a}＞0＞-1$，所以原不等式的解集为$\begin{cases}x＞-\frac{1}{a},或x＜-1\end{cases}$.

9. 已知不等式 $ x^{2} + x - 6 ＜ 0 $ 的解集为 $ A $，不等式 $ x^{2} - 2x - 3 ＜ 0 $ 的解集为 $ B $，求 $ A \cap B $.

答案： 9.解 由$x^2 + x - 6＜0$得$-3＜x＜2$.
$\therefore A=\{x|-3＜x＜2\}$.
由$x^2 - 2x - 3＜0$，得$-1＜x＜3$，
$\therefore B=\{x|-1＜x＜3\}$.
$\therefore A\cap B=\{x|-1＜x＜2\}$.