《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 不等式$\frac{x - 1}{x + 2} ＜ 0$的解集为 (C)

A.$\{x|x ＞ 1\}$
B.$\{x|x ＜ - 2\}$
C.$\{x|- 2 ＜ x ＜ 1\}$
D.$\{x|x ＜ - 2$或$x ＞ 1\}$

答案： 1.C

2. 若不等式$ax^{2} + bx + 1 ＞ 0$的解集为$\{x|- 1 ＜ x ＜ \frac{1}{3}\}$，则$a + b$的值为 (B)

A.5
B.$- 5$
C.6
D.$- 6$

答案： 2.B 不等式$ax^{2}+bx+1＞0$的解集为$\left\{x\mid-1＜x＜\frac{1}{3}\right\}$
即方程$ax^{2}+bx+1=0$的解为$-1,\frac{1}{3}$,
由方程的根与系数的关系可得$\begin{cases} -\frac{b}{a}=-1+\frac{1}{3} \\ \frac{1}{a}=-1×\frac{1}{3} \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-3 \\ b=-2 \end{cases}$
$\therefore a+b=-5$.

3. 不等式$\frac{3x - 1}{2 - x} \geq 1$的解集是 (B)

A.$\{x|\frac{3}{4} \leq x \leq 2\}$
B.$\{x|\frac{3}{4} \leq x ＜ 2\}$
C.$\{x|x ＞ 2$或$x \leq \frac{3}{4}\}$
D.$\{x|x \geq \frac{3}{4}\}$

答案： 3.B 不等式$\frac{3x - 1}{2 - x} \geq 1$,移项得$\frac{3x - 1}{2 - x}-1 \geq 0$,
即$\frac{x - \frac{3}{4}}{x - 2} \leq 0$,可化为$\begin{cases} \left(x - \frac{3}{4}\right)(x - 2) \leq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$,
解得$\frac{3}{4} \leq x ＜ 2$,则原不等式的解集为$\left\{x\mid\frac{3}{4} \leq x ＜ 2\right\}$.

4. 某服装厂生产某种风衣，月销售量$x$(件)与售价$p$(元/件)的关系为$p = 300 - 2x$；生产$x$件的成本$r = 500 + 30x$元，为使月获利不少于8600元，则月产量$x$需满足 (C)

A.$55 \leq x \leq 60$
B.$60 \leq x \leq 65$
C.$65 \leq x \leq 70$
D.$70 \leq x \leq 75$

答案： 4.C 由题意可得$(300 - 2x)x-(500 + 30x) \geq 8600$,
即$x^{2}-135x + 4550 \leq 0$,
则$(x - 65)(x - 70) \leq 0$,
故$65 \leq x \leq 70$.

5. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的$t\%$征收木材税，这样每年的木材销售量减少$\frac{5}{2}t$万立方米. 为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则$t$的取值范围是 (B)

A.$\{t|1 \leq t \leq 3\}$
B.$\{t|3 \leq t \leq 5\}$
C.$\{t|2 \leq t \leq 4\}$
D.$\{t|4 \leq t \leq 6\}$

答案： 5.B 设按销售收入的$t\%$征收木材税时,税金收入为$y$万元,
则$y = 2400\left(20-\frac{5}{2}t\right)× t\% = 60(8t - t^{2})$,
令$y \geq 900$,即$60(8t - t^{2}) \geq 900$,解得$3 \leq t \leq 5$.

6. (多选)若不等式$ax^{2} - bx + c ＞ 0$的解集是$\{x|- 1 ＜ x ＜ 2\}$，则下列选项正确的是 (ABD)

A.$b ＜ 0$且$c ＞ 0$
B.$a - b + c ＞ 0$
C.$a + b + c ＞ 0$
D.不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集是$\{x|- 2 ＜ x ＜ 1\}$

答案： 6.ABD 对于A,$a ＜ 0$,依题意知$-1,2$是方程$ax^{2}-bx + c = 0$的两个根,所以$-1 + 2 = 1 = \frac{b}{a}$,$-1×2=\frac{c}{a}$,所以$b = a$,$c = -2a$,所以$b ＜ 0,c ＞ 0$,所以A正确;
对于B,由题意可知当$x = 1$时不等式成立,$a - b + c ＞ 0$,所以B正确;
对于C,当$x = -1$时$ax^{2}-bx + c = 0$,即$a + b + c = 0$,所以C错误;
对于D,由题得$ax^{2}+bx + c ＞ 0$可化为$ax^{2}+ax - 2a ＞ 0$,因为$a ＜ 0$,所以$x^{2}+x - 2 ＜ 0$,所以$-2 ＜ x ＜ 1$,所以不等式$ax^{2}+bx + c ＞ 0$的解集是$\{x\mid -2 ＜ x ＜ 1\}$,所以D正确.

7. 写出一个一元二次方程$ax^{2} + 2x + 1 = 0(a \neq 0)$有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件$a ＜ -1$(答案不唯一).

答案： 7.$a ＜ -1$(答案不唯一) 因为$ax^{2}+2x + 1 = 0(a \neq 0)$有一个正实数根和一个负实数根,设为$x_1,x_2$,
所以$x_1x_2 ＜ 0$,即$\frac{1}{a} ＜ 0$,
故只需写出一个比$a ＜ 0$范围小的范围即可.

8. 已知关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＜ 0$的解集是$\{x|x ＜ - 2$，或$x ＞ - \frac{1}{2}\}$，则$ax^{2} - bx + c ＞ 0$的解集为$\left\{x\mid\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2\right\}$.

答案： 8.$\left\{x\mid\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2\right\}$ 由题意知,$-2,-\frac{1}{2}$是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根,且$a ＜ 0$,
故$\begin{cases} -2 + \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{b}{a} \\ -2×\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{c}{a} \end{cases}$解得$\begin{cases} c = a \\ b = \frac{5}{2}a \end{cases}$
所以不等式$ax^{2}-bx + c ＞ 0$,即为$2x^{2}-5x + 2 ＜ 0$,
解得$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$,
即不等式$ax^{2}-bx + c ＞ 0$的解集为$\left\{x\mid\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2\right\}$.

9. 已知关于$x$的不等式$ax^{2} + 5x + c ＞ 0$的解集为$\{x|\frac{1}{3} ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$.
(1)求$a$，$c$的值；
(2)解关于$x$的不等式$ax^{2} + (ac + 2)x + 2c \geq 0$.

答案： 9.解
(1)由题意知,不等式对应的方程$ax^{2}+5x + c = 0$的两个实数根为$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{2}$,
由根与系数的关系,得$\begin{cases} -\frac{5}{a}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3} \end{cases}$
解得$a = -6,c = -1$.
(2)由$a = -6,c = -1$知不等式$ax^{2}+(ac + 2)x + 2c \geq 0$可化为$-6x^{2}+8x - 2 \geq 0$,
即$3x^{2}-4x + 1 \leq 0$,解得$\frac{1}{3} \leq x \leq 1$,
所以所求不等式的解集为$\left\{x\mid\frac{1}{3} \leq x \leq 1\right\}$.