《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. (1) 如图①，给出奇函数 $ y = f(x) $ 的局部图象，试作出 $ y $ 轴右侧的图象并求出 $ f(3) $ 的值；

(2) 如图②，给出偶函数 $ y = f(x) $ 的局部图象，试作出 $ y $ 轴右侧的图象并比较 $ f(1) $ 与 $ f(3) $ 的大小.

答案： 10.解
(1)奇函数$y = f(x)$在$y$轴左侧图象上任一点$P(-x,f(-x))$关于原点的对称点为$P'(x,-f(-x))$，图③为图①补充后的图象，易知$f(3) = -2$.
(2)偶函数$y = f(x)$在$y$轴左侧图象上任一点$P(-x,f(-x))$关于$y$轴的对称点为$P'(x,f(-x))$，图④为图②补充后的图象，易知$f(1) ＞ f(3)$.

11. (多选)对于定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $，则下列判断正确的是(BD)

A.若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(-2) = f(2) $，则 $ f(x) $ 是偶函数
B.若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(-2) \neq f(2) $，则 $ f(x) $ 不是偶函数
C.若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2) ＞ f(1) $，则 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的单调增函数
D.若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2) ＞ f(1) $，则 $ f(x) $ 不是 $ \mathbf{R} $ 上的单调减函数

答案： 11.BD A选项，若$f(x) = x(x^{2} - 4)$，则$f(-2) = 0,f(2) = 0$，故$f(-2) = f(2)$，又$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，且$f(-x) = -x[(-x)^{2} - 4] = -x(x^{2} - 4) = -f(x)$，所以$f(x)$为奇函数，故A错误；
B选项，依据偶函数的定义知，若$f(x)$为偶函数，则$f(-x) = f(x)$，可知满足$f(2) \neq f(-2)$的函数必然不是偶函数，故B正确；
C选项，若$f(x) = x^{2}$，则$f(2) = 4,f(1) = 1$，故$f(2) ＞ f(1)$，但函数$f(x) = x^{2}$在$(-\infty,0)$上为减函数，在$(0, +\infty)$上为增函数，故C错误；
D选项，因为$2 ＞ 1,f(2) ＞ f(1)$，所以$f(x)$不是$\mathbf{R}$上的单调减函数，故D正确.

12. 已知 $ f(x) = ax^3 + bx^2 $ 是定义在 $ [a - 1,3a] $ 上的奇函数，那么 $ a + b $ 等于(B)

A.$-\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 12.B
∵$f(x) = ax^{3} + bx^{2}$是定义在$[a - 1,3a]$上的奇函数，
∴定义域关于原点对称，即$a - 1 + 3a = 0$，解得$a = \frac{1}{4}$，则函数$f(x) = \frac{1}{4}x^{3} + bx^{2}$.
再由奇函数的定义得$f(-x) = -f(x)$，
$- \frac{1}{4}x^{3} + bx^{2} = - \left( \frac{1}{4}x^{3} + bx^{2} \right)$，
∴$b = 0$，则$a + b = \frac{1}{4}$.

13. 已知定义域为 $ [a - 4,2a - 2] $ 的奇函数 $ f(x) = 2023x^3 - 5x + b + 2 $，则 $ f(a) + f(b) $ 的值为0.

答案： 13.0 因为奇函数的图象关于原点对称，
所以$a - 4 + 2a - 2 = 0$，
所以$a = 2$，
因为函数$f(x)$是奇函数，
所以$f(0) = 0$，
即$b + 2 = 0$，故$b = -2$，
所以$f(a) + f(b) = f(2) + f(-2) = f(2) - f(2) = 0$.

14. 已知函数 $ f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} $，若 $ f(a) = \frac{2}{3} $，则 $ f(-a) = $$\frac{4}{3}$.

答案： 14.$\frac{4}{3}$ 根据题意，$f(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} = 1 + \frac{x}{x^{2} + 1}$，
而$h(x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$是奇函数，
故$f(-a) = 1 + h(-a) = 1 - h(a) = 2 - [1 + h(a)] = 2 - f(a) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

15. 已知函数 $ f(x) $ 对一切实数 $ x $，$ y $ 都有 $ f(x + y) = f(x) + f(y) $，
(1) 求证：$ f(x) $ 是奇函数；
(2) 若 $ f(-3) = a $，试用 $ a $ 表示 $ f(12) $.

答案： 15.
(1)证明 由已知$f(x + y) = f(x) + f(y)$，
令$y = -x$得$f(0) = f(x) + f(-x)$，
令$x = y = 0$得$f(0) = 2f(0)$，
所以$f(0) = 0$，
所以$f(x) + f(-x) = 0$，
即$f(-x) = -f(x)$，
故$f(x)$是奇函数.
(2)解 由
(1)知$f(x)$为奇函数.
所以$f(-3) = -f(3) = a$，所以$f(3) = -a$.
又$f(12) = f(6) + f(6) = 2f(3) + 2f(3) = 4f(3)$，
所以$f(12) = -4a$.