《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $ y_{1} $（单位：万元）与仓库到车站的距离 $ x $（单位：km）成反比，每月库存货物费 $ y_{2} $（单位：万元）与$ (4x + 1) $成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 分别为2万元和8.2万元. 记两项费用之和为 $ w $.
（1）求 $ w $ 关于 $ x $ 的解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值.

答案： 10.解
(1)$\because$每月土地占地费$y_1$(单位：万元)与仓库到车站的距离$x$(单位：$km$)成反比，
$\therefore$可设$y_1=\frac{k_1}{x}$，
$\because$每月库存货物费$y_2$(单位：万元)与$(4x + 1)$成正比，
$\therefore$可设$y_2=k_2(4x + 1)$，
又$\because$在距离车站$10km$处建仓库，则$y_1$与$y_2$分别为$2$万元和$8.2$万元，
$\therefore k_1=2×10=20,k_2=\frac{8.2}{4×10 + 1}=0.2$，
$\therefore y_1=\frac{20}{x}$，$y_2=(4x + 1)×0.2=0.8x + 0.2$，
$\therefore w=y_1 + y_2=\frac{20}{x}+0.8x + 0.2(x＞0)$。
(2)$w=\frac{20}{x}+0.8x + 0.2\geqslant2\sqrt{\frac{20}{x}·0.8x}+0.2=8.2$，当且仅当$\frac{20}{x}=0.8x$，即$x = 5$时等号成立，
$\therefore$这家公司应该把仓库建在距离车站$5$千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为$8.2$万元。

11. 设函数 $ f(x) = \frac{2x^{2} - x + 1}{x}(x ＜ 0) $，则函数$ f(x) $(D)

A.有最小值 $ 2\sqrt{2} - 1 $
B.有最大值 $ 2\sqrt{2} - 1 $
C.有最小值 $ - 2\sqrt{2} - 1 $
D.有最大值 $ - 2\sqrt{2} - 1 $

答案： 11.D $\because x＜0$，
$\therefore f(x)=\frac{2x^{2}-x + 1}{x}=2x+\frac{1}{x}-1$
$=-(-2x+\frac{1}{-x})-1\leqslant-2\sqrt{(-2x)·(\frac{1}{-x})}-1=-2\sqrt{2}-1$，
当且仅当$-2x=\frac{1}{-x}$，即$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立。
$\therefore f(x)_{\max}=-2\sqrt{2}-1$。

12. 一批救灾物资随26辆汽车从某市以 $ v $ km/h的速度送达灾区，已知运送的路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于$ \left( \frac{v}{20} \right)^{2} $ km，那么这批物资全部到达灾区最少需要(B)

A.5 h
B.10 h
C.15 h
D.20 h

答案： 12.B 由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发，到最后一辆车到灾区，总路程为$400+25(\frac{v}{20})^2=400+\frac{v^2}{16}$
设这批物资全部到达灾区的时间为$t$ $h$，
$\therefore t=\frac{400+\frac{v^2}{16}}{v}=\frac{400}{v}+\frac{v}{16}\geqslant2\sqrt{\frac{400}{v}·\frac{v}{16}}=10$。
当且仅当$\frac{400}{v}=\frac{v}{16}$，即$v = 80$时，等号成立。
故这批物资全部到达灾区最少需要$10$ $h$。

13. 函数 $ f(x) = x - \frac{1}{x} $ 的单调递增区间为$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$.

答案： 13.$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$ 

14. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}x + \frac{4}{x},0 ＜ x ＜ 4, \\ - x^{2} + 10x - 20,x \geq 4,\end{cases}$ 若存在 $ 0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3} ＜ x_{4} $，使得 $ f(x_{1}) = f(x_{2}) = f(x_{3}) = f(x_{4}) $，则 $ x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} $ 的取值范围是 ________ .

答案：
14.$(96,100)\because f(x)=\begin{cases}x+\frac{4}{x},0＜x＜4,\\-x^{2}+10x - 20,x\geqslant4,\end{cases}$
可得函数图象如图所示。
由图可知，当$y\in(4,5)$时，存在$0＜x_1＜x_2＜x_3＜x_4$，使得$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)$，
不妨令此时$y = a$，则对于$x_1,x_2$满足方程$x+\frac{4}{x}=a$，即$x^{2}-ax + 4 = 0$，所以$x_1x_2 = 4$；对于$x_3,x_4$满足方程$-x^{2}+10x - 20 = a$，即$-x^{2}+10x - 20 - a = 0$，则有$x_3+x_4 = 10$，
$\therefore x_1x_2x_3x_4=4x_3x_4=4x_3(10 - x_3)=-4(x_3 - 5)^2+100$，
其中$x_3\in(4,5)$，则$-4(x_3 - 5)^2+100\in(96,100)$，
即$x_1x_2x_3x_4\in(96,100)$。

15. 已知函数 $ y = x + \frac{t}{x} $ 有如下性质：如果常数 $ t ＞ 0 $，那么该函数在$ (0,\sqrt{t}] $上单调递减，在$ [\sqrt{t},+\infty) $上单调递增.
（1）已知 $ f(x) = 2x + 1 + \frac{4}{2x + 1} - 8,x \in [0,1] $，利用上述性质，求函数 $ f(x) $ 的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数 $ f(x) $ 和函数 $ g(x) = - x - 2a $，若对任意 $ x_{1} \in [0,1] $，总存在 $ x_{2} \in [0,1] $，使得 $ g(x_{2}) = f(x_{1}) $ 成立，求实数 $ a $ 的值.

答案： 15.解
(1)设$t = 2x + 1$，则$f(x)=u(t)=t+\frac{4}{t}-8$，
因为$x\in[0,1]$，则$t = 2x + 1\in[1,3]$。
由已知性质可知$u(t)$在$[1,2]$上单调递减，在$[2,3]$上单调递增。
所以$f(x)$的单调递减区间为$[0,\frac{1}{2}]$，单调递增区间为$(\frac{1}{2},1]$。
当$2x + 1 = 2$，即$x=\frac{1}{2}$时，$f(x)_{\min}=f(\frac{1}{2})=-4$，
又$f(0)=-3,f(1)=-\frac{11}{3}$，
所以$f(x)_{\max}=-3$，所以值域为$[-4,-3]$。
(2)因为$g(x)=-x - 2a$为减函数，所以当$x\in[0,1]$时，$g(x)\in[-1 - 2a,-2a]$。
因为对任意$x_1\in[0,1]$，总存在$x_2\in[0,1]$，使得$g(x_2)=f(x_1)$成立，
所以$f(x)$的值域是$g(x)$值域的子集，
即$[-4,-3]\subseteq[-1 - 2a,-2a]$，则$\begin{cases}-1 - 2a\leqslant-4,\\-2a\geqslant-3,\end{cases}$
解得$a\geqslant\frac{3}{2}$且$a\leqslant\frac{3}{2}$，即$a=\frac{3}{2}$。