《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 已知 $ a,b,c,d\in\mathbf{R} $，则下列命题中必成立的是(B)

A.若 $ a＞b,c＞d $，则 $ a + b＞c + d $
B.若 $ a＞-b $，则 $ c - a＜c + b $
C.若 $ a＞b,c＜d $，则 $ \frac{a}{c}＞\frac{b}{d} $
D.若 $ a^{2}＞b^{2} $，则 $ -a＜-b $

答案： 1.B 选项A,取$a=1,b=0,c=2,d=1$，则$a+b＜c+d$，A不成立；
选项B，因为$a＞-b$，所以$-a＜b$，所以$c-a＜c+b$，B成立；
选项C，当$a＞b＞0,c＜0＜d$时，C不成立；
选项D，当$a=-1,b=0$时，D不成立．

2. 如果 $ a＜0,b＞0 $，那么下列不等式中一定正确的是(A)

A.$ \frac{1}{a}＜\frac{1}{b} $
B.$ \sqrt{-a}＜\sqrt{b} $
C.$ a^{2}＜b^{2} $
D.$ |a|＞|b| $

答案： 2.A $\because a＜0,b＞0$，
$\therefore \frac{1}{a}＜0,\frac{1}{b}＞0,\therefore \frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$．

3. 已知 $ a + b＞0,b＜0 $，那么 $ a,b,-a,-b $ 的大小关系是(C)

A.$ a＞b＞-b＞-a $
B.$ a＞-b＞-a＞b $
C.$ a＞-b＞b＞-a $
D.$ a＞b＞-a＞-b $

答案： 3.C $\because a+b＞0,b＜0$，
$\therefore -b＞0,0＞b＞-a$，
$\therefore a＞-b＞b＞-a$．

4. 设 $ x＜a＜0 $，则下列不等式一定成立的是(B)

A.$ x^{2}＜ax＜a^{2} $
B.$ x^{2}＞ax＞a^{2} $
C.$ x^{2}＜a^{2}＜ax $
D.$ x^{2}＞a^{2}＞ax $

答案： 4.B 方法一 $\because x＜a＜0,\therefore x^{2}＞a^{2}$．
$\because x^{2}-ax=x(x-a)＞0,\therefore x^{2}＞ax$．
又$ax-a^{2}=a(x-a)＞0,\therefore ax＞a^{2}$．
$\therefore x^{2}＞ax＞a^{2}$．
方法二 $\because x＜a＜0$，
$\therefore x· x＞a· x＞a· a＞0$，
$\therefore x^{2}＞ax＞a^{2}$．

5. 若 $ a,b $ 都是实数，则“$ \sqrt{a}-\sqrt{b}＞0 $”是“$ a^{2}-b^{2}＞0 $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 5.A $\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0\Rightarrow\sqrt{a}＞\sqrt{b}\Rightarrow a＞b＞0\Rightarrow a^{2}＞b^{2}\Rightarrow a^{2}-b^{2}＞0$
$a^{2}-b^{2}＞0\Rightarrow a^{2}＞b^{2}\nRightarrow\sqrt{a}＞\sqrt{b}$．

6. (多选)给出下列命题，其中正确的命题是(BC)

A.$ a＞b\Rightarrow a^{2}b＞ab^{2} $
B.$ a＞|b|\Rightarrow a^{2}＞b^{2} $
C.$ a＞b\Rightarrow a^{3}＞b^{3} $
D.$ |a|＞b\Rightarrow a^{2}＞b^{2} $

答案： 6.BC 对于A，当$a＞0,b＜0$时不成立；选项B一定成立；
对于C，当$a＞b$时，$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=(a-b)· \left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}\right]＞0$成立；
对于D，当$b＜0$时，不一定成立.如$|2|＞-3$，但$2^{2}＜(-3)^{2}$．

7. 设 $ a,b,c $ 是任意实数，能够说明“若 $ c＜b＜a $ 且 $ ac＜0 $，则 $ ab＜ac $”是假命题的一组整数 $ a,b,c $ 的值依次为1,0，－1(答案不唯一).

答案： 7.1,0，－1(答案不唯一) 若$c＜b＜a$且$ac＜0$，则$a＞0,c＜0$，
则取$a=1,b=0,c=-1$，
则满足条件$ac＜0$，但$ab＜ac$不成立.

8. 若 $ A = \{ y|y\geqslant1\} $，且 $ a\in A $，若 $ m = \frac{1}{a + 2} $，则 $ m $ 的取值范围是$0＜m\le \frac{1}{3}$.

答案： 8.$0＜m\le \frac{1}{3}$ 若$A=\{y|y\ge 1\}$，且$a\in A$，则$a\ge 1$，
所以$a+2\ge 3$，所以$0＜\frac{1}{a+2}\le \frac{1}{3}$，即$0＜m\le \frac{1}{3}$．

9. 已知 $ 1＜a＜2,2＜b＜4 $，求 $ 3a - b $ 与 $ \frac{a}{b} $ 的取值范围.

答案： 9.解 因为$1＜a＜2,2＜b＜4$，
所以$3＜3a＜6,-4＜-b＜-2$，$\frac{1}{4}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{2}$．
所以$-1＜3a-b＜4$，$\frac{1}{4}＜\frac{a}{b}＜1$．