《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知 $ y = f(x) $ 是奇函数，它在 $ (0,+\infty) $ 上单调递增，且 $ f(x)\lt0 $，试问 $ F(x)=\frac{1}{f(x)} $ 在 $ (-\infty,0) $ 上单调递增还是单调递减？证明你的结论。

答案： 10.解 $F(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减。
证明如下：任取$x_{1},x_{2}\in(-\infty,0)$，且$x_{1}＜x_{2}$，
则有$-x_{1}＞-x_{2}＞0$。
因为$y = f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(x)＜0$，
所以$f(-x_{2})＜f(-x_{1})＜0$，
又因为$f(x)$是奇函数，
所以$f(-x_{2})=-f(x_{2})$，$f(-x_{1})=-f(x_{1})$，
由上述两式得$f(x_{2})＞f(x_{1})＞0$。
于是$F(x_{1})-F(x_{2})=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{f(x_{1})· f(x_{2})}＞0$，
即$F(x_{1})＞F(x_{2})$，
所以$F(x)=\frac{1}{f(x)}$在$(-\infty,0)$上单调递减。

11. 设奇函数 $ f(x) $ 在 $ (0,+\infty) $ 上单调递减，且 $ f(1)=0 $，则不等式 $ \frac{f(x)-f(-x)}{x}\lt0 $ 的解集为(C)

A.$ (-1,0)\cup(1,+\infty) $
B.$ (-\infty,-1)\cup(0,1) $
C.$ (-\infty,-1)\cup(1,+\infty) $
D.$ (-1,0)\cup(0,1) $

答案： 11.C $\because f(x)$为奇函数，$\frac{f(x)-f(-x)}{x}＜0$，
即$\frac{2f(x)}{x}＜0$，
$\because f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减且$f(1)=0$，
$\therefore$当$x＞1$时，$f(x)＜0$，$\frac{f(x)}{x}＜0$。
奇函数的图象关于原点对称，
在$(-\infty,0)$上$f(x)$单调递减且$f(-1)=0$，
$\therefore$当$x＜-1$时，$f(x)＞0$，$\frac{f(x)}{x}＜0$。
综上，不等式的解集为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。

12. 若函数 $ y = f(x) $ 是奇函数，且函数 $ F(x)=af(x)+bx + 2 $ 在 $ (0,+\infty) $ 上有最大值 $ 8 $，则函数 $ y = F(x) $ 在 $ (-\infty,0) $ 上有(D)

A.最大值 $-8$
B.最小值 $-8$
C.最小值 $-6$
D.最小值 $-4$

答案： 12.D $\because y = f(x)$和$y = x$都是奇函数，
$\therefore T(x)=af(x)+bx$也为奇函数。
又$\because F(x)=af(x)+bx + 2$在$(0,+\infty)$上有最大值$8$，
$\therefore T(x)=af(x)+bx$在$(0,+\infty)$上有最大值$6$，
$\therefore T(x)=af(x)+bx$在$(-\infty,0)$上有最小值$-6$，
$\therefore F(x)=af(x)+bx + 2$在$(-\infty,0)$上有最小值$-4$。

13. 已知偶函数 $ f(x) $ 在 $ [0,+\infty) $ 上单调递减，$ f(2)=0 $，若 $ f(x - 1)\gt0 $，则 $ x $ 的取值范围是$(-1,3)$。

答案： 13.(-1,3) $\because f(x)$为偶函数，$\therefore f(x - 1)=f(|x - 1|)$，
又$f(2)=0$，$f(x - 1)＞0$，$\therefore f(|x - 1|)＞f(2)$。
$|x - 1|,2\in[0,+\infty)$，且$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，
$\therefore|x - 1|＜2$，即$-2＜x - 1＜2$，
$\therefore x$的取值范围为$(-1,3)$。

14. 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数满足 $ f(x + 8)=f(x) $，且在区间 $ [0,2] $ 上单调递增，则(D)

A.$ f(25)\lt f(-1)\lt f(80) $
B.$ f(25)\lt f(80)\lt f(-1) $
C.$ f(-1)\lt f(25)\lt f(80) $
D.$ f(-1)\lt f(80)\lt f(25) $

答案： 14.D $\because f(x + 8)=f(x)$，
$\therefore f(25)=f(17)=f(9)=f(1)$，同理$f(80)=f(0)$，
又$\because$奇函数$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递增，
$\therefore f(x)$在区间$[-2,2]$上单调递增，
$\therefore f(-1)＜f(0)＜f(1)$，
即$f(-1)＜f(80)＜f(25)$。

15. 已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，且满足下面两个条件：①对于任意的 $ x,y\in\mathbf{R} $，均有 $ f(x + y)=f(x)+f(y) $；②当 $ x\gt0 $ 时，$ f(x)\lt0 $，且 $ f(1)=-2 $。试求函数 $ f(x) $ 在 $ [-3,3] $ 上的值域。

答案： 15.解 任取$x_{1},x_{2}$，且$-3\leqslant x_{1}＜x_{2}\leqslant3$，则$x_{2}-x_{1}＞0$，$f(x_{2}-x_{1})＜0$，
$\therefore f(x_{2})=f[(x_{2}-x_{1})+x_{1}]=f(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})$，
$\therefore f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}-x_{1})＜0$，
即$f(x_{2})＜f(x_{1})$，
$\therefore f(x)$在$[-3,3]$上单调递减，
又$f(1)=-2$，$f(2)=f(1)+f(1)=-4$，
$f(3)=f(1)+f(2)=-2-4=-6$，又$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
$\therefore f(-3)=-f(3)=6$，又$f(x)$在$[-3,3]$上单调递减，
$\therefore$函数$f(x)$在$[-3,3]$上的值域为$[-6,6]$。