《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 设函数 $ f(x)=\frac{x^{2}+(a + 1)x + a}{x} $ 为奇函数，则实数 $ a $ 等于(A)

A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$-2$

答案： 1.A 根据题意，得$f(x)+f(-x)=0$，即$\frac{x^{2}+(a+1)x+a}{x}+\frac{x^{2}-(a+1)x+a}{-x}=0$，变形可得$(a+1)x=0,a+1=0$，则$a=-1$。

2. 设函数 $ f(x)=\begin{cases}g(x),x\lt0,\\x^{2}-2x,x\gt0,\end{cases}$ 若 $ f(x) $ 是奇函数，则 $ g(-2) $ 等于( )

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 2.B 由已知可得$g(-2)=f(-2)=-f(2)=-(2^{2}-2×2)=0$。

3. 设偶函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty,-1] $ 上单调递增，则(B)

A.$ f\left(-\frac{3}{2}\right)\lt f(-1)\lt f(2) $
B.$ f(2)\lt f\left(-\frac{3}{2}\right)\lt f(-1) $
C.$ f(2)\lt f(-1)\lt f\left(-\frac{3}{2}\right) $
D.$ f(-1)\lt f\left(-\frac{3}{2}\right)\lt f(2) $

答案： 3.B $\because f(x)$为偶函数，$\therefore f(-x)=f(x)$，
$\therefore f(2)=f(-2)$。
又$f(x)$在区间$(-\infty,-1]$上单调递增，且$-2＜-\frac{3}{2}＜-1$，
$\therefore f(2)=f(-2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$。

4. 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x^{2}+x,x\leq0,\\ax^{2}+bx,x\gt0\end{cases}$ 为奇函数，则 $ a + b $ 等于( )

A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$2$

答案： 4.C 当$x＜0$时，$-x＞0$，$\because f(x)$为奇函数，
$\therefore f(-x)=-f(x)$，即$ax^{2}-bx=-x^{2}-x$，
$\therefore a=-1,b=1$，故$a+b=0$。

5. 若奇函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty,0) $ 上的解析式为 $ f(x)=x(1 + x) $，则 $ f(x) $ 在 $ (0,+\infty) $ 上有(B)

A.最大值 $-\frac{1}{4}$
B.最大值 $\frac{1}{4}$
C.最小值 $-\frac{1}{4}$
D.最小值 $\frac{1}{4}$

答案： 5.B 方法一 当$x＜0$时，$f(x)=x^{2}+x=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，
所以$f(x)$有最小值$-\frac{1}{4}$，因为$f(x)$是奇函数，
所以当$x＞0$时，$f(x)$有最大值$\frac{1}{4}$。
方法二（直接法）当$x＞0$时，$-x＜0$，
所以$f(-x)=-x(1-x)$。
又$f(-x)=-f(x)$，
所以$f(x)=x(1-x)=-x^{2}+x=-(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}$，
所以当$x＞0$时，$f(x)$有最大值$\frac{1}{4}$。

6.(多选)一个偶函数定义在区间 $ [-7,7] $ 上，它在 $ [0,7] $ 上的图象如图所示，下列说法正确的是(AC)


A.这个函数有三个单调递增区间
B.这个函数有两个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值 $ 7 $
D.这个函数在其定义域内有最小值 $-7$

答案： 6.AC 根据偶函数在$[0,7]$上的图象及其对称性，作出函数在$[-7,0]$上的图象，如图所示，
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是$7$；在其定义域内最小值不是$-7$。

7. 若 $ f(x)=(m - 1)x^{2}+6mx + 2 $ 是偶函数，则 $ f(0) $，$ f(1) $，$ f(-2) $ 从小到大的排列是$f(-2)＜f(1)＜f(0)$。

答案： 7. $f(-2)＜f(1)＜f(0)$ $\because f(x)$是偶函数，$\therefore f(-x)=f(x)$恒成立，
即$(m - 1)x^{2}-6mx + 2=(m - 1)x^{2}+6mx + 2$恒成立，
$\therefore m = 0$，即$f(x)=-x^{2}+2$。
$f(x)$的图象开口向下，对称轴为$y$轴，在$[0,+\infty)$上单调递减，
$\therefore f(2)＜f(1)＜f(0)$，
即$f(-2)＜f(1)＜f(0)$。

8. 函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上为偶函数，且 $ x\gt0 $ 时，$ f(x)=\sqrt{x}+1 $，则当 $ x\lt0 $ 时，$ f(x)= $$\sqrt{-x + 1}$。

答案： 8. $\sqrt{-x + 1}$ $\because f(x)$为偶函数，$x＞0$时，$f(x)=\sqrt{x + 1}$，
$\therefore$当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(x)=f(-x)=\sqrt{-x + 1}$，
即$x＜0$时，$f(x)=\sqrt{-x + 1}$。

9. 已知 $ f(x) $ 是定义在 $ (-1,1) $ 上的奇函数，且 $ f(x) $ 在 $ (-1,1) $ 上是减函数，解不等式 $ f(1 - x)+f(1 - 2x)\lt0 $。

答案： 9.解 $\because f(x)$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，
由$f(1 - x)+f(1 - 2x)＜0$，得
$f(1 - x)＜-f(1 - 2x)$，即$f(1 - x)＜f(2x - 1)$。
又$\because f(x)$在$(-1,1)$上是减函数，
$\therefore\begin{cases}-1＜1 - x＜1,\\-1＜2x - 1＜1,\\1 - x＞2x - 1,\end{cases}$解得$0＜x＜\frac{2}{3}$，
$\therefore$原不等式的解集为$\{x\mid0＜x＜\frac{2}{3}\}$。