《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 画出函数$y=|2^{x}-1|$的函数图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值.

答案：
10.解 图象如图所示，定义域为$\mathbf{R}$；

值域为$\{y|y\geq0\}$；单调递减区间为$(-\infty,0)$，单调递增区间为$(0,+\infty)$；有最小值为$0$，无最大值.

11. 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+2x+1,x≤0,\\ 2^{-x},x＞0,\end{array}\right. $若存在$x_{1},x_{2},x_{3}(x_{1}＜x_{2}＜x_{3})$，使$f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})$，则$f(x_{1}+x_{2}+x_{3})$的取值范围是( )

A.$(0,1]$
B.$[0,1]$
C.$(-∞,1]$
D.$(-∞,1)$

答案： 11.B 

12. 若函数$f(x)=(\frac {1}{3})^{|x|}+m-1$的图象与$x$轴有公共点，则实数$m$的取值范围为(D)

A.$m＜1$
B.$m≤1$
C.$0＜m＜1$
D.$0≤m＜1$

答案： 12.D 函数$f(x)=(\frac{1}{3})^{|x|}+m - 1$的图象与$x$轴有公共点，即$m - 1=-(\frac{1}{3})^{|x|}$有实数解，由于$-1\leq-(\frac{1}{3})^{|x|}＜0$，故$-1\leq m - 1＜0$，解得$0\leq m＜1$.

13. 已知函数$f(x)=(x-a)(x-b)$(其中$a＞b$)的图象如图所示，则函数$g(x)=a^{x}+b$的图象是(A)

答案： 13.A 由函数$f(x)=(x - a)(x - b)($其中$a＞b)$的图象可知$0＜a＜1$，$b＜-1$，所以函数$g(x)=a^{x}+b$是减函数，排除选项C，D；又因为函数图象过点$(0,1 + b)($其中$1 + b＜0)$，所以A项正确.

14. 已知实数$a,b$满足等式$(\frac {1}{2})^{a}=(\frac {1}{3})^{b}$，给出下列五个关系式：①$0＜b＜a$；②$a＜b＜0$；③$0＜a＜b$；④$b＜a＜0$；⑤$a=b$.其中不可能成立的有2个.

答案： 14.2 作$y = (\frac{1}{2})^{x}$与$y = (\frac{1}{3})^{x}$的图象(图略).
当$a = b = 0$时，$(\frac{1}{2})^{a}=(\frac{1}{3})^{b}=1$；
当$a＜b＜0$时，可以使$(\frac{1}{2})^{a}=(\frac{1}{3})^{b}$；
当$a＞b＞0$时，也可以使$(\frac{1}{2})^{a}=(\frac{1}{3})^{b}$.
故①，②，⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③，④.

15. 已知函数$f(x)=a^{x}+b(a＞0$，且$a≠1)$.
(1) 若$f(x)$的图象如图①所示，求$a,b$的值；
(2) 若$f(x)$的图象如图②所示，求$a,b$的取值范围；
(3) 在(1)中，若$|f(x)|=m$有且仅有一个实数根，求$m$的取值范围.

答案：
15.解
(1)由图①知$f(x)$的图象过点$(2,0)$，$(0,-2)$，所以$\begin{cases}a^{2}+b = 0\\a^{0}+b=-2\end{cases}$，又因为$a＞0$，且$a\neq1$，所以$a = \sqrt{3}$，$b = -3$.
(2)由图②知$f(x)$单调递减，所以$0＜a＜1$，又$f(0)＜0$，即$a^{0}+b＜0$，所以$b＜-1$.故$a$的取值范围为$(0,1)$，$b$的取值范围为$(-\infty,-1)$.
(3)由
(1)知$f(x)=(\sqrt{3})^{x}-3$，则画出$|f(x)|=|(\sqrt{3})^{x}-3|$的图象如图所示，要使$|f(x)|=m$有且仅有一个实数根，则$m = 0$或$m\geq3$.

故$m$的取值范围为$\{0\}\cup[3,+\infty)$.