《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列各选项中,表示 $ M \subseteq N $ 的是 (C)

答案： 1.C 由M⊆N，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中。

2. (多选)已知集合 $ A = \{ 0,1 \} $,则下列式子正确的是 (ACD)

A.$ 0 \in A $
B.$ \{ 1 \} \in A $
C.$ \varnothing \subseteq A $
D.$ \{ 0,1 \} \subseteq A $

答案： 2.ACD
∵{1}⊆A，
∴B项错误，其余均正确。

3. 已知集合 $ M = \{ x | y ^ { 2 } = 2 x \} $ 和集合 $ P = \{ ( x, y ) | y ^ { 2 } = 2 x \} $,则两个集合间的关系是 (D)

A.$ M \subseteq P $
B.$ P \subseteq M $
C.$ M = P $
D.$ M, P $ 互不包含

答案： 3.D 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含。

4. 已知集合 $ A = \{ x | - 1 \leq x \leq 1 \}, B = \{ x | a - 1 \leq x \leq 2 a - 1 \} $,若 $ B \subseteq A $,则实数 $ a $ 的取值范围是 (A)

A.$ \{ a | a \leq 1 \} $
B.$ \{ a | a ＜ 1 \} $
C.$ \{ a | 0 \leq a \leq 1 \} $
D.$ \{ a | 0 ＜ a ＜ 1 \} $

答案： 4.A 当B=∅时，即2a−1＜a−1，即a＜0时，满足B⊆A；
当B≠∅，即a−1⩽2a−1，即a⩾0时，要使B⊆A，
则满足$\begin{cases}a - 1 \geqslant - 1,\\2a - 1 \leqslant 1,\end{cases}$解得0⩽a⩽1。
综上，a⩽1。

5. 已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf { R } | x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 \}, B = \{ x \in \mathbf { N } | 0 ＜ x ＜ 5 \} $,则满足条件 $ A \subseteq C \subseteq B $ 的集合 $ C $ 的个数为 (D)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 5.D 由题意知，A={1,2}，B={1,2,3,4}。又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个。

6. (多选)已知集合 $ A = \{ 2, - 1 \} $,集合 $ B = \{ m ^ { 2 } - m, - 1 \} $,若 $ A \subseteq B $ 且 $ B \subseteq A $,则实数 $ m $ 等于 (AB)

A.2
B.- 1
C.- 2
D.4

答案： 6.AB
∵A⊆B且B⊆A，
∴A=B，
∴$m^2−m=2，$解得m=2或m=−1。

7. 若整数 $ x, y $ 能使 $ \{ 2 x, x + y \} = \{ 7,4 \} $ 成立,则 $ x y =$10$$ _ 。

答案： 7.10 若$\begin{cases}2x = 7,\\x + y = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{7}{2},\\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$因为x,y为整数，故舍去；
若$\begin{cases}2x = 4,\\x + y = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 5,\end{cases}$则xy=10。

8. 已知集合 $ A = \{ x | x ＜ - 1 $,或 $ x ＞ 2 \}, B = \{ x | 4 x + p ＜ 0 \} $,若 $ B \subseteq A $,则实数 $ p $ 的取值范围是{p∣p⩾4}_ 。

答案： 8.{p∣p⩾4} 集合A={x∣x＜−1或x＞2}，
$B={x∣4x+p＜0}={x∣x＜−\frac{p}{4}}，$
若B⊆A，则$−\frac{p}{4}⩽−1，$即p⩾4，
则实数p的取值范围是{p∣p⩾4}。

9. 已知集合 $ A = \{ 1,3, - x ^ { 2 } \}, B = \{ x + 2,1 \} $,是否存在实数 $ x $,使得 $ B $ 是 $ A $ 的子集?若存在,求出集合 $ A, B $;若不存在,请说明理由。

答案： 9.解 存在，理由如下：由题意知，若x+2=3，则x=1，符合题意。若
$+2=−x^2，$则$x^2+x+2=0$无实根，故不成立，综上所述，存在实数x=1，使得B是A的子集，此时A={1,3,−1}，B={1,3}。