《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知$a ＞ 0$，试比较$a$与$\frac{1}{a}$的大小。

答案： 10.解 因为$a - \frac{1}{a} = \frac{a² - 1}{a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a}, a ＞ 0，$
所以当a ＞ 1时，$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a} ＞ 0，$有$a ＞ \frac{1}{a}；$
当a = 1时，$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a} = 0，$有$a = \frac{1}{a}；$
当0 ＜ a ＜ 1时，$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a} ＜ 0，$有$a ＜ \frac{1}{a}$
综上所述，当a ＞ 1时，$a ＞ \frac{1}{a}；$
当a = 1时，$a = \frac{1}{a}；$
当0 ＜ a ＜ 1时，$a ＜ \frac{1}{a}$

11. 足球赛期间，某球迷俱乐部一行$56$人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有$A$，$B$两个出租车队，$A$队比$B$队少$3$辆。若全部安排乘$A$队的车，每辆车坐$5$人，车不够，每辆车坐$6$人，有的车未坐满；若全部安排乘$B$队的车，每辆车坐$4$人，车不够，每辆车坐$5$人，有的车未坐满。则$A$队有出租车(B)

A.$11$辆
B.$10$辆
C.$9$辆
D.$8$辆

答案： 11.B 

12. 已知$a_{1} ＞ 1$，$a_{2} ＞ 1$，设$P = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}$，$Q = \frac{1}{a_{1}a_{2}} + 1$，则$P$与$Q$的大小关系为(B)

A.$P ＞ Q$
B.$P ＜ Q$
C.$P = Q$
D.不确定

答案： $12.B P - Q = (\frac{1}{a₁} + \frac{1}{a₂}) - (\frac{1}{a₁a₂} + 1) = \frac{a₁ + a₂}{a₁a₂} - \frac{1 + a₁a₂}{a₁a₂} = \frac{a₁ + a₂ - 1 - a₁a₂}{a₁a₂} = \frac{(a₁ - 1)(a₂ - 1) - (a₁a₂)}{a₁a₂}$
因为a₁ ＞ 1, a₂ ＞ 1，
所以a₁ - 1 ＞ 0, 1 - a₂ ＜ 0, a₁a₂ ＞ 0，
所以$P - Q = \frac{(a₁ - 1)(1 - a₂)}{a₁a₂} ＜ 0，$所以P ＜ Q.

13. 已知$a$，$b \in \mathbf{R}$，若$ab = 1$，则$a^{2} + b^{2}$的最小值是2，当且仅当$a = b =$±1时取得最小值。

答案： 13.2 ±1 根据a² + b² - 2ab = (a - b)² ≥ 0，故a² + b² ≥ 2ab = 2，当且仅当a - b = 0即a = b = ±1时等号成立.

14. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱$576$，买竹子$78$根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵$1$钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(C)

A.$6$钱
B.$7$钱
C.$8$钱
D.$9$钱

答案： 14.C 依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78 - x)根，每根单价为(m - 1)钱，所以576 = mx + (78 - x)(m - 1)，
即78m + x = 654，即x = 6(109 - 13m)，
因为0 ≤ x ≤ 78，
所以$\begin{cases} 109 - 13m ≥ 0 \\ 6(109 - 13m) ≤ 78 \end{cases}$
解得$\frac{96}{13} ≤ m ≤ \frac{109}{13}$
根据选项m = 8, x = 30，
所以买大竹子30根，每根8钱.

15. 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往。甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受$7.5$折优惠。”乙车队说：“你们属团体票，按原价的$8$折优惠。”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠。

答案： 15.解 设该单位职工有n人(n ∈ N*)，
全票价为x元，坐甲车需花y₁元，坐乙车需花y₂元，
则$y₁ = x + \frac{3}{4}x · (n - 1) = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}nx, y₂ = \frac{4}{5}nx.$
所以$y₁ - y₂ = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}nx - \frac{4}{5}nx = \frac{1}{4}x - \frac{1}{20}nx = \frac{1}{4}x(1 - \frac{n}{5}).$
当n = 5时，y₁ = y₂；
当n ＞ 5时，y₁ ＜ y₂；
当n ＜ 5时，y₁ ＞ y₂.
因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠.