《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. “$1 ＜ x ＜ 2$”是“$x\leqslant 2$”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.A　设$A=\{x\mid1＜x＜2\}$，$B=\{x\mid x\leq2\}$，则$A\subsetneqq B$。故$“1＜x＜2”$是$“x\leq2”$的充分不必要条件。

2. “$x = 1$”是“$x^{2}-2x + 1 = 0$”的(A)

A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A　若$x = 1$，则$x^{2}-2x + 1 = 0$；若$x^{2}-2x + 1 = 0$，即$(x - 1)^{2}=0$，则$x = 1$。故$“x = 1”$是$“x^{2}-2x + 1 = 0”$的充要条件。

3. 已知$x\in \mathbf{R}$，则“$x^{2}=x + 6$”是“$x=\sqrt{x + 6}$”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.B　由于$“x^{2}=x + 6”$，则$“x=\pm\sqrt{x + 6}”$，故$“x^{2}=x + 6”$是$“x=\sqrt{x + 6}”$的必要不充分条件。

4. 已知$a,b$是实数，则“$a ＜ 0$，且$b ＜ 0$”是“$ab(a - b)＞0$”的(D)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.D　已知$a$，$b$是实数，则若$a＜0$，且$b＜0$，不一定有$ab(a - b)＞0$，比如当$a＜b＜0$时，$ab(a - b)＜0$；反之，若$ab(a - b)＞0$，则$a - b$和$ab$同号，当$a＞b＞0$时满足$ab(a - b)＞0$，当$b＜a＜0$时也满足$ab(a - b)＞0$，故不能确定$a$和$b$的正负。故是既不充分也不必要条件。

5. (多选)下列选项中正确的是(AD)

A.点$P$到圆心$O$的距离大于圆的半径是点$P$在$\odot O$外的充要条件
B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C.$A\cup B = A$是$B\subseteq A$的必要不充分条件
D.$x$或$y$为有理数是$xy$为有理数的既不充分也不必要条件

答案： 5.AD

6. (多选)使“$x\in \{x|x\leqslant 0$，或$x ＞ 2\}$”成立的一个充分不必要条件是(BC)

A.$x\geqslant 0$
B.$x ＜ 0$或$x ＞ 2$
C.$x\in \{-1,3,5\}$
D.$x\leqslant 0$或$x ＞ 2$

答案： 6.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意。

7. 已知$\triangle ABC$，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，两三角形对应角相等是$\triangle ABC\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的必要不充分(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.

答案： 7.必要不充分　由两三角形对应角相等$\nRightarrow\triangle ABC\cong\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；反之由$\triangle ABC\cong\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow\angle A=\angle A_{1}$，$\angle B=\angle B_{1}$，$\angle C=\angle C_{1}$。

8. 对于集合$A,B$及元素$x$，若$A\subseteq B$，则$x\in B$是$x\in A\cup B$的充要条件.

答案： 8.充要　由$x\in B$，显然可得$x\in A\cup B$；反之，由$A\subseteq B$，则$A\cup B = B$，所以由$x\in A\cup B$可得$x\in B$，故$x\in B$是$x\in A\cup B$的充要条件。

9. 求证：关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为$1$的充要条件是$a + b + c = 0$.

答案： 9.证明　充分性：因为$a + b + c = 0$，所以$c=-a - b$，代入方程$ax^{2}+bx + c = 0$，得$ax^{2}+bx - a - b = 0$，即$(x - 1)(ax + a + b)=0$。所以方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为$1$。必要性：因为方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为$1$，所以$x = 1$满足方程$ax^{2}+bx + c = 0$，所以$a×1^{2}+b×1 + c = 0$，即$a + b + c = 0$。故关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个根为$1$的充要条件是$a + b + c = 0$。