《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

10. 已知命题“$\exists - 3\leqslant x\leqslant 2,3a + x - 2 = 0$”为真命题，求实数$a$的取值范围.

答案： 10.解 由$3a + x - 2 = 0$，得$3a - 2 = - x$，
$\because - 3 \leqslant x \leqslant 2$，$\therefore - 2 \leqslant - x \leqslant 3$，
$\therefore - 2 \leqslant 3a - 2 \leqslant 3$，即$0 \leqslant a \leqslant \frac{5}{3}$，
故实数$a$的取值范围是$\left\{ a \mid 0 \leqslant a \leqslant \frac{5}{3} \right\}$.

11. (多选)下列命题中是真命题的是(ABC)

A.$\exists x\in \mathbf{R},x\leqslant 0$
B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C.$\exists x\in \{x|x$是无理数$\},x + 5$是无理数
D.$\exists a,b\in \mathbf{R}$，使得$a^{2}+b^{2}-2a - 2b + 2＜0$

答案： 11.ABC $\exists x \in \mathbf{R},x \leqslant 0$，A为真命题；
至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如$1$满足条件，B为真命题；
$\exists x \in \{ x \mid x$是无理数$\}$，$x + 5$是无理数，例如$x = \pi$，C为真命题；
因为$a^{2} + b^{2} - 2a - 2b + 2 = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} \geqslant 0$，所以D为假命题.
综上可得，ABC为真命题.

12. 已知命题$p:\exists x\in \mathbf{R},x^{2}+2x - a = 0$，若$p$为假命题，则实数$a$的取值范围是(B)

A.$a＞-1$
B.$a＜-1$
C.$a\geqslant - 1$
D.$a\leqslant - 1$

答案： 12.B 依题意得，方程$x^{2} + 2x - a = 0$无实根，
所以必有$\Delta = 4 + 4a ＜ 0$，解得$a ＜ - 1$.

13. 若对任意$x＞3,x＞a$恒成立，则$a$的取值范围是$a \leqslant 3$.

答案： 13.$a \leqslant 3$ 对于任意$x ＞ 3$，$x ＞ a$恒成立，
即大于$3$的数恒大于$a$，所以$a \leqslant 3$.

14. 能够说明“存在不相等的实数$a,b$，使得$a^{2}-ab + b = 0$”是真命题的一组有序数对$(a,b)$为$(2,4)$（答案不唯一）.

答案： 14.$(2,4)$（答案不唯一） 由$a^{2} - ab + b = 0$，得$ab - b = a^{2}$，即$b(a - 1) = a^{2}$，则$b = \frac{a^{2}}{a - 1}(a \neq 1)$.
当$a = 2$时，$b = 4$，故能够说明“存在不相等的实数$a,b$，使得$a^{2} - ab + b = 0$”是真命题.

15. 已知$M = \{x|a\leqslant x\leqslant a + 1\}$，
(1) “$\forall x\in M,x + 1＞0$”是真命题，求实数$a$的取值范围；
(2) “$\exists x\in M,x + 1＞0$”成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 15.解
(1)$\forall x ＞ 0$，$x + 1 ＞ 0$是真命题，即$a + 1 ＞ 0$，解得$a ＞ - 1$，
所以实数$a$的取值范围是$a ＞ - 1$.
(2)“$\exists x \in M$，$x + 1 ＞ 0$”成立，即$a + 1 + 1 ＞ 0$，解得$a ＞ - 2$，
所以实数$a$的取值范围是$a ＞ - 2$.