《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 购买某种饮料 $ x $ 瓶，所需钱数为 $ y $ 元. 若每瓶 $ 2 $ 元，用解析法将 $ y $ 表示成 $ x(x \in \{1,2,3,4\}) $ 的函数为(D)

A.$ y = 2x $
B.$ y = 2x(x \in \mathbf{R}) $
C.$ y = 2x(x \in \{1,2,3,·s\}) $
D.$ y = 2x(x \in \{1,2,3,4\}) $

答案： 1.D 题中已给出自变量的取值范围，$x \in \{1,2,3,4\}$，结合选项知D正确。

2. 李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家. 下列图象中与这一过程吻合得最好的是(D)

答案： 2.D 由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意。

3. 二次函数 $ y = 2x^2 $ 的图象先向上平移 $ 2 $ 个单位长度，再向右平移 $ 1 $ 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(B)

A.$ y = 2(x + 1)^2 + 2 $
B.$ y = 2(x - 1)^2 + 2 $
C.$ y = 2(x + 1)^2 - 2 $
D.$ y = 2(x - 1)^2 - 2 $

答案： 3.B 将二次函数$y = 2x^2$的图象向上平移2个单位长度得到函数$y = 2x^2 + 2$的图象，再向右平移1个单位长度得函数$y = 2(x - 1)^2 + 2$的图象。

4. 函数 $ y = -\frac{1}{x - 1} $ 的图象是(C)

答案： 4.C 方法一 先画$y = -\frac{1}{x}$的图象，然后再向右平移1个单位长度即可得到$y = -\frac{1}{x - 1}$的图象。
方法二 根据函数$y = -\frac{1}{x - 1}$的定义域为$(-\infty,1) \cup (1, +\infty)$可排除B,D；再根据当$x = 2$时，$y = -1 ＜ 0$，排除A。

5. 已知 $ f(\frac{x}{2} - 1) = 2x + 3 $，则 $ f(6) $ 的值为(C)

A.$ 15 $
B.$ 7 $
C.$ 31 $
D.$ 17 $

答案： 5.C 方法一 令$\frac{x}{2} - 1 = t$，则$x = 2t + 2$，$f(t) = 2(2t + 2) + 3 = 4t + 7$，$\therefore f(x) = 4x + 7$，$f(6) = 4 × 6 + 7 = 31$。
方法二 令$\frac{x}{2} - 1 = 6$，则$x = 14$，$\therefore f(6) = 2 × 14 + 3 = 31$。

6. (多选)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a,b,c $ 为常数且 $ a \neq 0) $ 的图象如图所示，则一次函数 $ y = ax + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{c}{x} $ 的图象不可能是(BCD)

答案： 6.BCD 由二次函数的图象开口向上，可知$a ＞ 0$，对称轴方程为$x = -\frac{b}{2a} ＞ 0 \Rightarrow b ＜ 0$，当$x = 0$时，$y = c ＜ 0$；因为$c ＜ 0$，所以反比例函数$y = \frac{c}{x}$的图象在第二、四象限，故B,C不可能；因为$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，所以一次函数$y = ax + b$的图象经过第一、三、四象限，故D不可能。

7. 设 $ b ＞ 0 $，二次函数 $ y = ax^2 + bx + a^2 - 1 $ 的图象为下列图象之一，则 $ a $ 的值为-1.

答案： 7.-1 若$a ＞ 0$，即图象开口向上，故排除图①和图③，$\because b ＞ 0$，$\therefore$对称轴$x = -\frac{b}{2a} ＜ 0$，故排除图②和图④，则没有符合条件的图象；若$a ＜ 0$，即图象开口向下，$\because b ＞ 0$，$\therefore$对称轴$x = -\frac{b}{2a} ＞ 0$，故函数图象为图③。由图象知函数过点$(0,0)$，$\therefore a^2 - 1 = 0$，$\therefore a = -1$（$a = 1$舍去）。

8. 已知 $ f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x + 1} $，那么 $ f(x) $ 的解析式为$f(x) = \frac{x}{x + 1} (x \neq -1 且 x \neq 0)$.

答案： 8.$f(x) = \frac{x}{x + 1} (x \neq -1 且 x \neq 0)$ 由$f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x + 1}$可知，函数$f(x)$的定义域为$\{x | x \neq -1 且 x \neq 0\}$。令$t = \frac{1}{x}$，则$x = \frac{1}{t}$（$t \neq -1 且 t \neq 0$），所以$f(t) = \frac{1}{\frac{1}{t} + 1} = \frac{t}{t + 1}$（$t \neq -1 且 t \neq 0$），故$f(x) = \frac{x}{x + 1} (x \neq -1 且 x \neq 0)$。

9. 画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域：
(1) $ y = \frac{8}{x} $；
(2) $ y = -4x + 5 $；
(3) $ y = x^2 - 6x + 7 $.

答案：
9.解
(1) 反比例函数$y = \frac{8}{x}$的图象如图1所示，定义域为$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$，值域为$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$。
(2) 一次函数$y = -4x + 5$的图象如图2所示，定义域为$\mathbf{R}$，值域为$\mathbf{R}$。
(3) 二次函数$y = x^2 - 6x + 7$的图象如图3所示，定义域为$\mathbf{R}$，值域为$[-2, +\infty)$。