《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 命题“实数的平方不小于零”可以表示为(A)

A.$\forall x\in \mathbf{R},x^{2}\geqslant 0$
B.$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}\geqslant 0$
C.$\forall x\in \mathbf{R},x^{2}＞0$
D.$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}＞0$

答案： 1.A 命题“实数的平方不小于零”为全称量词命题，即$\forall x \in \mathbf{R}, x^{2} \geqslant 0$.

2. 下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(C)

A.$\forall x\in \mathbf{R},2x + 1＞0$
B.若$2x$为偶数，则$x\in \mathbf{N}$
C.菱形的四条边都相等
D.$\pi$是无理数

答案： 2.C 对A，是全称量词命题，当$x = - 1$时，$2x + 1 = - 1 ＜ 0$，所以是假命题，故A不正确；
对B，是全称量词命题，当$x = - 1$时，$2x$为偶数，但$-1 \notin \mathbf{N}$，所以是假命题，故B不正确；
对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确.

3. 下列命题中的假命题是(C)

A.$\exists x\in \mathbf{R},|x| = 0$
B.$\exists x\in \mathbf{R},2x - 10 = 1$
C.$\forall x\in \mathbf{R},x^{3}＞0$
D.$\forall x\in \mathbf{R},x^{2}+1＞0$

答案： 3.C 当$x = 0$时，$x^{3} = 0$，故选项C为假命题.

4. 下列存在量词命题是假命题的是(B)

A.存在$x\in Q$，使$4 - x^{2}=0$
B.存在$x\in \mathbf{R}$，使$x^{2}+x + 1 = 0$
C.至少有一个正整数是偶数
D.有的有理数没有倒数

答案： 4.B 对于任意的$x \in \mathbf{R}$，$x^{2} + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0$恒成立.

5. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(B)

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数$x$，使$x^{2}\leqslant 0$
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数$x$，使$\frac{1}{x}＞2$

答案： 5.B A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当$x = 0$时，$x^{2} = 0$，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为$\sqrt{3} + ( - \sqrt{3} ) = 0$，所以C是假命题；D中对于任一个负数$x$，都有$\frac{1}{x} ＜ 0$，所以D是假命题.

6. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(C)

A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数$a,b$，若$a - b\leqslant 0$，则$a\leqslant b$
D.存在一个实数$x$，使等式$x^{2}-2x + 1 = 0$成立

答案： 6.C B,D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a ＜ 0)$的图象开口向下，也应排除，故应选C.

7. 命题“有些负数满足不等式$(1 + x)(1 - 9x)^{2}＞0$”用“$\exists$”写成存在量词命题为$\exists x ＜ 0$，$(1 + x)(1 - 9x) ＞ 0$.

答案： 7.$\exists x ＜ 0$，$(1 + x)(1 - 9x) ＞ 0$ 存在量词命题“存在$M$中的元素$x$，使$p(x)$成立”可用符号简记为“$\exists x \in M,p(x)$”.

8. 若命题“二次函数$y = x^{2}-3x + 9a$的图象恒在$x$轴上方”为真命题，则实数$a$的取值范围是$\left( \frac{1}{4}, + \infty \right)$.

答案： 8.$\left( \frac{1}{4}, + \infty \right)$ 由题意，“二次函数$y = x^{2} - 3x + 9a$的图象恒在$x$轴上方”为真命题，
根据二次函数的图象与性质，
可得$\Delta = ( - 3)^{2} - 4 × 9a ＜ 0$，解得$a ＞ \frac{1}{4}$，
即实数$a$的取值范围是$\left( \frac{1}{4}, + \infty \right)$.

9. 判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1) 对所有的正实数$t$，$\sqrt{t}$为正且$\sqrt{t}＜t$；
(2) 存在实数$x$，使得$x^{2}-3x - 4 = 0$；
(3) 存在实数对$(x,y)$，使得$3x - 4y - 5＞0$；
(4) 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

答案： 9.解
(1)为全称量词命题，且为假命题，如取$t = 1$，则$\sqrt{t} ＜ t$不成立.
(2)为存在量词命题，且为真命题，
因为判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = 25 ＞ 0$，
所以存在实数$x$，使得$x^{2} - 3x - 4 = 0$.
(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对$(2,0)$，则$3x - 4y - 5 ＞ 0$成立.
(4)为全称量词命题，且为真命题.