《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ f(x) $ 的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为(B)


A.$ f(\frac{3}{2}) $，$ f(-\frac{3}{2}) $
B.$ f(0) $，$ f(\frac{3}{2}) $
C.$ f(-\frac{3}{2}) $，$ f(0) $
D.$ f(0) $，$ f(3) $

答案： 1.B　观察函数图象可知，$f(x)$的最大值、最小值分别为$f(0)$，$f(\frac{3}{2})$.

2. 设函数 $ f(x)=2x - 1(x \lt 0) $，则 $ f(x) $(D)

A.有最大值
B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值

答案： 2.D　$\because f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，$\therefore f(x)＜f(0)=-1$.

3. 函数 $ f(x)=x^{2}+3x + 2 $ 在区间 $ (-5,5) $ 上的最大值、最小值分别为(D)

A.$ 42 $，$ 12 $
B.$ 42 $，$ -\frac{1}{4} $
C.$ 12 $，$ -\frac{1}{4} $
D.无最大值，最小值为 $ -\frac{1}{4} $

答案： 3.D　因为$f(x)=(x+\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4},x\in(-5,5)$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，$f(x)$有最小值$-\frac{1}{4}$，$f(x)$无最大值.

4. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 $ L_{1}=-x^{2}+21x $ 和 $ L_{2}=2x $(其中销售量单位：辆)。若该公司在两地共销售 $ 15 $ 辆，则能获得的最大利润为(C)

A.$ 90 $ 万元
B.$ 60 $ 万元
C.$ 120 $ 万元
D.$ 120.25 $ 万元

答案： 4.C　设公司在甲地销售$x$辆，则在乙地销售$(15 - x)$辆，公司获利为$L=-x^{2}+21x + 2(15 - x)=-x^{2}+19x + 30=-(x-\frac{19}{2})^{2}+30+\frac{19^{2}}{4}$，$\therefore$当$x = 9$或$10$时，$L$最大值为$120$万元.

5. 规定 $ \max\{a,b\} $ 表示取 $ a,b $ 中的较大者，例如 $ \max\{0.1,-2\}=0.1 $，$ \max\{2,2\}=2 $。则函数 $ f(x)=\max\{x + 1,4 - 2x\} $ 的最小值为(B)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 5.B　当$x + 1\geqslant4 - 2x$，即$x\geqslant1$时，$\max(x + 1,4 - 2x)=x + 1$；当$x + 1＜4 - 2x$，即$x＜1$时，$\max(x + 1,4 - 2x)=4 - 2x$；所以$f(x)=\begin{cases}4 - 2x,x＜1,\\x + 1,x\geqslant1,\end{cases}$显然$f(x)$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，所以当$x = 1$时，$f(x)$取得最小值为$f(1)=2$.

6. (多选)若函数 $ f(x)=x^{2}-4x + 1 $ 在定义域 $ A $ 上的值域为 $ [-3,1] $，则区间 $ A $ 可能为(ABC)

A.$ [0,4] $
B.$ [2,4] $
C.$ [1,4] $
D.$ [-3,5] $

答案： 6.ABC　$\because$函数$f(x)=x^{2}-4x + 1$的图象是开口向上的抛物线，以直线$x = 2$为对称轴，$\therefore$函数$f(x)$在区间$(-\infty,2)$上单调递减，在$[2,+\infty)$上单调递增.当$x\in[0,4]$时，函数的最小值为$f(2)=-3$，最大值为$f(0)=f(4)=1$，得函数的值域为$[-3,1]$；当$x\in[2,4]$时，函数的最小值为$f(2)=-3$，最大值为$f(4)=1$，得函数的值域为$[-3,1]$；当$x\in[1,4]$时，函数的最小值为$f(2)=-3$，$\because f(1)=-2＜f(4)=1$，$\therefore$最大值为$f(4)=1$，得函数的值域为$[-3,1]$；当$x\in[-3,5]$时，最小值为$f(2)=-3$，$\because f(-3)=22＞f(5)=6$，$\therefore$最大值为$f(-3)=22$，得函数的值域为$[-3,22]$.根据以上的讨论可得区间$A$不可能为$[-3,5]$.

7. 函数 $ y = ax + 1 $ 在区间 $ [1,3] $ 上的最大值为 $ 4 $，则 $ a = $1。

答案： 7.1　若$a＜0$，则函数$y = ax + 1$在区间$[1,3]$上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即$a + 1 = 4$，解得$a = 3$，不满足$a＜0$，舍去；若$a＞0$，则函数$y = ax + 1$在区间$[1,3]$上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即$3a + 1 = 4$，解得$a = 1$.综上，$a = 1$.

8. 函数 $ f(x)=\frac{1}{x - 3} $，$ x \in [1,2] $，则 $ f(x) $ 的最大值为$-\frac{1}{2}$，最小值为$-1$。

答案： 8.$-\frac{1}{2}$　$-1$　$\because f(x)=\frac{1}{x - 3}$在$[1,2]$上单调递减，$\therefore f(2)\leqslant f(x)\leqslant f(1)$，即$-1\leqslant f(x)\leqslant-\frac{1}{2}$.

9. 画出函数 $ y = -x(|x - 2| - 2) $，$ x \in [-1,5] $ 的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值。

答案：
9.解　原函数化为$y=\begin{cases}x^{2},-1\leqslant x\leqslant2,\\-x^{2}+4x,2＜x\leqslant5,\end{cases}$在平面直角坐标系内作出其图象，如图

观察图象得，函数$y=-x(|x - 2|-2)$的单调递减区间是$[-1,0]$，$[2,5]$，单调递增区间是$(0,2)$，当$x = 2$时，$y_{\max}=4$，当$x = 5$时，$y_{\min}=-5$，所以原函数最大值为$4$，最小值为$-5$.