《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 若不等式 $x^{2}+mx + 1\geq0$ 的解集为 $\mathbf{R}$，则实数 $m$ 的取值范围是(D)

A.$m\geq2$
B.$m\leq - 2$
C.$m\leq - 2$ 或 $m\geq2$
D.$-2\leq m\leq2$

答案： 1.D　不等式$x^{2}+mx+1\geqslant0$的解集为$\mathbf{R}$，则$\Delta=m^{2}-4\leqslant0$，解得$-2\leqslant m\leqslant2$，$\therefore$实数$m$的取值范围是$-2\leqslant m\leqslant2$.

2. 对于任意 $x\in\mathbf{R}$，$\sqrt{mx^{2}+2mx + 2}$ 都有意义，则 $m$ 的取值范围是(C)

A.$m\geq2$
B.$0\lt m\leq2$
C.$0\leq m\leq2$
D.$0\leq m\leq4$

答案： 2.C　令$y=\sqrt{mx^{2}+2mx+2}$，
当$m=0$时，函数$y=\sqrt{2}$，符合题意；
当$m\neq0$时，$mx^{2}+2mx+2\geqslant0$恒成立，
则$\begin{cases}\Delta\leqslant0,\\m＞0,\end{cases}$即$\begin{cases}4m^{2}-8m\leqslant0,\\m＞0,\end{cases}$解得$0＜m\leqslant2$，
综上，实数$m$的取值范围是$0\leqslant m\leqslant2$.

3. 已知不等式 $x^{2}+ax + 4\lt0$ 的解集为空集，则 $a$ 的取值范围是(A)

A.$\{a|-4\leq a\leq4\}$
B.$\{a|-4\lt a\lt4\}$
C.$\{a|a\leq - 4$ 或 $a\geq4\}$
D.$\{a|a\lt - 4$ 或 $a\gt4\}$

答案： 3.A　由题意得，$\Delta=a^{2}-16\leqslant0$，解得$-4\leqslant a\leqslant4$.

4. 已知不等式 $-x^{2}+4x\geq a^{2}-3a$ 在 $\mathbf{R}$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围为(A)

A.$\{a|-1\leq a\leq4\}$
B.$\{a|-1\lt a\lt4\}$
C.$\{a|a\geq4$ 或 $a\leq - 1\}$
D.$\{a|-4\leq a\leq1\}$

答案： 4.A　由题意知，$-(x-2)^{2}+4\geqslant a^{2}-3a$在$\mathbf{R}$上有解，
$\therefore a^{2}-3a\leqslant4$，即$(a-4)(a+1)\leqslant0$，$\therefore-1\leqslant a\leqslant4$.

5. (多选)不等式 $ax^{2}-2x + 1\lt0$ 的解集非空的一个必要不充分条件是(BC)

A.$a\lt1$
B.$a\leq1$
C.$a\lt2$
D.$a\lt0$

答案： 5.BC　因为$ax^{2}-2x+1＜0$的解集非空，显然$a\leqslant0$时恒成立，
又由$\begin{cases}a＞0,\\\Delta=4-4a＞0,\end{cases}$解得$0＜a＜1$，
综上，$ax^{2}-2x+1＜0$的解集非空的充要条件为$a＜1$.

6. 若两个正实数 $x$，$y$ 满足 $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，且不等式 $x+\frac{y}{4}\lt m^{2}-3m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是(D)

A.$\{m|-1\lt m\lt4\}$
B.$\{m|m\lt0$ 或 $m\gt3\}$
C.$\{m|-4\lt m\lt1\}$
D.$\{m|m\lt - 1$ 或 $m\gt4\}$

答案： 6.D　因为正实数$x,y$满足$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，
所以$x+\frac{y}{4}=(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})(x+\frac{y}{4})=2+\frac{4x}{y}+\frac{y}{4x}\geqslant2+2\sqrt{\frac{4x}{y}·\frac{y}{4x}}=4$，
当且仅当$x=2,y=8$时，$x+\frac{y}{4}$取得最小值$4$.
由$x+\frac{y}{4}＜m^{2}-3m$有解，可得$m^{2}-3m＞4$，
解得$m＞4$或$m＜-1$.

7. 若不等式 $x^{2}+(m - 3)x + m\lt0$ 无解，则实数 $m$ 的取值范围是$1\leqslant m\leqslant9$。

答案： 7.$1\leqslant m\leqslant9$　$x^{2}+(m-3)x+m＜0$无解，
则$\Delta=(m-3)^{2}-4m=m^{2}-10m+9\leqslant0$，
解得$1\leqslant m\leqslant9$.

8. 若关于 $x$ 的不等式 $(k - 1)x^{2}+(k - 1)x - 1\lt0$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是$\{k\mid-3＜k\leqslant1\}$。

答案： 8.$\{k\mid-3＜k\leqslant1\}$　当$k=1$时，$-1＜0$恒成立；
当$k\neq1$时，由题意得$\begin{cases}k-1＜0,\\(k-1)^{2}+4(k-1)＜0,\end{cases}$
解得$-3＜k＜1$，
因此实数$k$的取值范围为$\{k\mid-3＜k\leqslant1\}$.

9. $\forall x\in\{x|2\leq x\leq3\}$，不等式 $mx^{2}-mx - 1\lt0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围。

答案： 9.解　由不等式$mx^{2}-mx-1＜0$，得$m(x^{2}-x)＜1$，
因为$x\in\{x\mid2\leqslant x\leqslant3\}$，所以$x^{2}-x＞0$，
所以$m(x^{2}-x)＜1$可化为$m＜\frac{1}{x^{2}-x}$，
因为$x^{2}-x=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\leqslant6$，
所以$\frac{1}{x^{2}-x}\geqslant\frac{1}{6}$，所以$m＜\frac{1}{6}$.
即$m$的取值范围是$\{m\mid m＜\frac{1}{6}\}$.