《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合 $ M = \{ x | x ＞ 1 $ 且 $ x \in \mathbf{N} \} $，则(D)

A.$ 0 \in M $
B.$ \pi \in M $
C.$ \sqrt{2} \in M $
D.$ 1 \notin M $

答案： 1.D 由集合$M=\{x|x＞1$且$x\in N\}$知，$0\notin M$，故A错误；$\pi\notin M$，故B错误；$\sqrt{2}\notin M$，故C错误；$1\notin M$，故D正确.

2. 把集合 $ \{ x | x^{2} - 4x - 5 = 0 \} $ 用列举法表示为(D)

A.$ \{ x = - 1,x = 5 \} $
B.$ \{ x | x = - 1 $ 或 $ x = 5 \} $
C.$ \{ x^{2} - 4x - 5 = 0 \} $
D.$ \{ - 1,5 \} $

答案： 2.D 根据题意，解$x^{2}-4x - 5 = 0$可得$x = -1$或$5$，用列举法表示为$\{-1,5\}$.

3. 若 $ 1 \in \{ x + 2,x^{2} \} $，则实数 $ x $ 的值为(B)

A.$ - 1 $
B.$ 1 $
C.$ 1 $ 或 $ - 1 $
D.$ 1 $ 或 $ 3 $

答案： 3.B 由$1\in\{x + 2,x^{2}\}$，可得$x^{2}=1$或$x + 2 = 1$，当$x^{2}=1$时，$x=\pm1$.当$x = 1$时，$x + 2 = 3$，满足要求；当$x=-1$时，$-1 + 2 = 1$，不满足元素的互异性，舍去.当$x + 2 = 1$时，$x=-1$，舍去，$\therefore x = 1$.

4. 已知集合 $ A = \{ 2,4,6 \} $，且当 $ a \in A $ 时，$ 6 - a \in A $，则 $ a $ 为(D)

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 0 $
D.$ 2 $ 或 $ 4 $

答案： 4.D 集合A中含有$3$个元素$2,4,6$，当$a = 2\in A$时，$6 - a = 4\in A$，则$a = 2$；当$a = 4\in A$时，$6 - a = 2\in A$，则$a = 4$；当$a = 6\in A$时，$6 - a = 0\notin A$.综上所述，$a$为$2$或$4$.

5. 下列集合中表示同一集合的是(B)

A.$ M = \{ ( 3,2 ) \},N = \{ ( 2,3 ) \} $
B.$ M = \{ 2,3 \},N = \{ 3,2 \} $
C.$ M = \{ ( x,y ) | x + y = 1 \},N = \{ y | x + y = 1 \} $
D.$ M = \{ 2,3 \},N = \{ ( 2,3 ) \} $

答案： 5.B 选项A中的集合M是由点$(3,2)$组成的点集，集合N是由点$(2,3)$组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数$y = 1 - x$图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数$y = 1 - x$图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即$N=\{y|x + y = 1\}=R$，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合.

6. (多选)已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf{N} | x ＜ 6 \} $，则下列关系式成立的是(ABC)

A.$ 0 \in A $
B.$ 1.5 \notin A $
C.$ - 1 \notin A $
D.$ 6 \in A $

答案： 6.ABC $\because A=\{x\in N|x＜6\}=\{0,1,2,3,4,5\}$，$\therefore6\notin A$，故D不成立，其余都成立.

7. 集合 $ \{ x | x = 2m - 3,m \in \mathbf{N}^{*},m ＜ 5 \} $，用列举法表示为$\{-1,1,3,5\}$。

答案： 7.$\{-1,1,3,5\}$ 集合中的元素满足$x = 2m - 3,m\in N^{*},m＜5$，则$m$可取值为$1,2,3,4$，则满足条件的$x$值为$-1,1,3,5$.则集合用列举法表示为$\{-1,1,3,5\}$.

8. 若集合 $ A = \{ x | kx^{2} + 4x + 4 = 0,x \in \mathbf{R} \} $ 只有一个元素，则实数 $ k $ 的值为0或1。

答案： 8.0或1 集合A中只有一个元素，即方程$kx^{2}+4x + 4 = 0$只有一个根.当$k = 0$时，方程为一元一次方程，只有一个根；当$k\neq0$时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则$\Delta=16 - 16k = 0$，即$k = 1$.所以实数$k$的值为$0$或$1$.

9. 用适当的方法表示下列集合：
(1) 方程 $ x ( x^{2} + 2x + 1 ) = 0 $ 的解集；
(2) 在自然数集内，小于 $ 1000 $ 的奇数构成的集合；
(3) 不等式 $ x - 2 ＞ 6 $ 的解构成的集合；
(4) 大于 $ 0.5 $ 且不大于 $ 6 $ 的自然数的全体构成的集合；
(5) 方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - 2y = 4 \end{cases} $ 的解集。

答案： 9.解
(1)$\{0,-1\}$.
(2)$\{x|x = 2n + 1$，且$x＜1000,n\in N\}$.
(3)$\{x|x＞8\}$.
(4)$\{1,2,3,4,5,6\}$.
(5)解集用描述法表示为$\{(x,y)|\begin{cases}2x + y = 3\\x - 2y = 4\end{cases}\}$
解集用列举法表示为$\{(2,-1)\}$.