《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列各等式中成立的是(B)

A.$ a^{\frac{5}{2}} = \sqrt[3]{a^2} (a ＞ 0) $
B.$ a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2} (a ＞ 0) $
C.$ a^{\frac{2}{5}} = \pm \sqrt[5]{a^2} (a ＞ 0) $
D.$ a^{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{a} (a ＞ 0) $

答案： 1.B $a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^{2}},a^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{a^{3}},a^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{a^{2}},a^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$,只有B正确.故选B.

2. 等式 $ \sqrt{\frac{x}{x - 3}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 3}} $ 成立的条件是(D)

A.$ \frac{x}{x - 3} ＞ 3 $
B.$ x \neq 3 $
C.$ x ＞ 0 $
D.$ x ＞ 3 $

答案： 2.D 等式$\sqrt{\frac{x}{x - 3}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 3}}$成立的条件是$\begin{cases}x\geqslant0\\x - 3＞0\end{cases}$,即$x＞3$.故选D.

3. 下列运算中正确的是(D)

A.$ a^{2\sqrt{2}} a^{3\sqrt{2}} = a^{6\sqrt{2}} $
B.$ (-a^2)^3 = (-a^3)^2 $
C.$ (\sqrt{a} - 2)^0 = 1 $
D.$ (-a^{2\sqrt{2}})^5 = -a^{10\sqrt{2}} $

答案： 3.D $a^{2\sqrt{2}}a^{\sqrt{2}}=a^{3\sqrt{2}}$,故A错误；$(-a^{2})^{3}=-a^{2×3}=-a^{6}$,$(-a^{3})^{2}=a^{6}$,故B错误；当$a = 4$时,$(\sqrt{a}-2)^{0}$无意义,故C错误；$(-a^{2\sqrt{2}})^{5}=-a^{10\sqrt{2}}$,故D正确.

4. 化简 $ \sqrt[3]{(\frac{8a^{-3}}{27b^3})^4} $(其中 $ a ＞ 0, b ＞ 0 $)的结果是(C)

A.$ \frac{2a}{3b} $
B.$ -\frac{2a}{3b} $
C.$ \frac{16}{81a^4b^4} $
D.$ -\frac{1}{81a^4b^4} $

答案： 4.C $\sqrt[4]{\frac{8a^{-3}}{27b^{3}}}=(\frac{2^{3}a^{-3}}{3^{3}b^{3}})^{\frac{1}{4}}=(\frac{2a^{-1}}{3b})^{\frac{3}{4}}=\frac{16}{81a^{4}b^{4}}$

5. 若 $ 3^a · 9^b = \frac{1}{3} $，则下列等式正确的是(C)

A.$ a + b = -1 $
B.$ a + b = 1 $
C.$ a + 2b = -1 $
D.$ a + 2b = 1 $

答案： 5.C $\because3^{a}·9^{b}=3^{a}·3^{2b}=3^{a + 2b}=\frac{1}{3}=3^{-1}$,$\therefore a + 2b=-1$.

6. (多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(BCD)

A.$ -\sqrt{x} = (-x)^{\frac{1}{2}} $
B.$ \sqrt[6]{y^2} = y^{\frac{1}{3}} (y ＞ 0) $
C.$ x^{-\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{1}{x})^3} (x ＞ 0) $
D.$ [\sqrt[3]{(-x)^2}]^{-\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}} (x ＞ 0) $

答案： 6.BCD A项错误,$-\sqrt{x}=-x^{\frac{1}{2}}(x\geqslant0)$,而$(-x)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-x}(x\leqslant0)$;B项正确,$\sqrt[3]{y^{2}}=y^{\frac{2}{3}}(y＞0)$;C项正确,$x^{-\frac{3}{4}}=(\frac{1}{x})^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{(\frac{1}{x})^{3}}(x＞0)$;D项正确,$[\sqrt[3]{(-x)^{2}}]^{\frac{3}{4}}=x^{2×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}}=x^{\frac{1}{2}}(x＞0)$.

7. 当 $ x ＜ 0 $ 时，$ x + \sqrt[4]{x^4} + \frac{\sqrt[3]{x^3}}{x} = $1。

答案： 7.1 原式$=x+|x|+\frac{x}{x}-x + 1 - 1=x+|x|+\frac{x}{x}-x=x - x+1=1$.

8. 化简：$ \frac{(\sqrt{2})^{\sqrt{2}} · \sqrt{2^{\sqrt{2}}}}{\sqrt[3]{8^{\sqrt{2}}}} = $1。

答案： 8.1 原式$=\frac{2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}·2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}{8^{\frac{\sqrt{2}}{3}}}=\frac{2^{\sqrt{2}}}{(2^{3})^{\frac{\sqrt{2}}{3}}}=\frac{2^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}}=1$.

9. （1）化简：$ (2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})(-3a^{-\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}}) (a ＞ 0, b ＞ 0) $；
（2）求值：$ (2\frac{3}{5})^0 + 2^{-2} × (2\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} - 0.01^{0.5} $。

答案： 9.解
(1)$(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})(-3a^{-\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})=2×(-6)×(-3)a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}=36ab^{\frac{5}{3}}$.
(2)$(\frac{2}{3})^{0}+2^{-2}×(\frac{1}{4})^{-1}-0.01^{0.5}=1+\frac{1}{4}×(\frac{4}{9})^{-1}-(\frac{1}{100})^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{4}×\frac{9}{4}-\frac{1}{10}=1+\frac{9}{16}-\frac{1}{10}=\frac{80 + 45 - 8}{80}=\frac{117}{80}$.