《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 若 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，$ x ＞ 0 $，$ n \in \mathbf{N}^{*} $，则下列各式：

其中正确的有(A)

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： 1.A 根据对数的运算性质$\log_aM^n=n\log_aM(M＞0,a＞0,且a\neq1)$知③与⑤正确.

$2. 2\log_{5}10+\log_{5}0.25 $等于$($　　$C$　　$)$　　

A.0
B.1
C.2
D.4

答案： 2.C 原式=$\log_5100+\log_50.25=\log_525=2$.

3. $ \log _{24}2+\log _{24}3+\log _{24}4 $等于(A)

A.1
B.2
C.24
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 3.A 原式=$\log_{24}(2×3×4)=\log_{24}24=1$.

4. 下列计算正确的是(B)

A.$ (a^{3})^{2}=a^{9} $
B.$ \log _{2}6-\log _{2}3=1 $
C.$ a^{-\frac{1}{2}}· a^{\frac{1}{2}}=0 $
D.$ \log _{3}(-4)^{2}=2\log _{3}(-4) $

答案： 4.B 由题意，根据实数指数幂的运算，可得$(a^3)^2=a^6,a^{-\frac{1}{2}}· a^{\frac{1}{2}}=a^0=1$,所以A,C不正确；由对数的运算性质，可得$\log_26-\log_23=\log_2\frac{6}{3}=\log_22=1$,所以B正确；根据对数的化简，可得$\log_3(-4)^2=2\log_3(-4)$,而$\log_3(-4)$无意义，所以D不正确.

5. 若 $ \lg a $，$ \lg b $是方程 $ 2x^{2}-4x + 1 = 0 $的两个实根，则 $ ab $的值等于(C)

A.2
B.$ \frac{1}{2} $
C.100
D.$ \sqrt{10} $

答案： 5.C $\because\lg a,\lg b$是方程$2x^2-4x+1=0$的两个实根，$\therefore$由根与系数的关系得$\lg a+\lg b=2$,$\therefore\lg(ab)=2$,$\therefore ab=10^2=100$.

6. (多选)已知 $ f(x)=\log _{5}x $，则对任意的 $ a,b \in (0,+\infty ) $，下列关系成立的是(AD)

A.$ f(ab)=f(a)+f(b) $
B.$ f(ab)=f(a)f(b) $
C.$ f(\frac{a}{b})=f(a)+f(b) $
D.$ f(\frac{a}{b})=f(a)-f(b) $

答案： 6.AD $\because f(x)=\log_5x,a,b\in(0,+\infty)$,$\therefore f(ab)=\log_5(ab)=\log_5a+\log_5b=f(a)+f(b)$,$f(\frac{a}{b})=\log_5\frac{a}{b}=\log_5a-\log_5b=f(a)-f(b)$.

7. $ \lg \sqrt{5}+\lg \sqrt{20} $的值是1.

答案： 7.1 原式=$\lg\sqrt{100}=\lg10=1$.

8. 已知 $ a^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{9}(a ＞ 0) $，则 $ \log _{\frac{2}{3}}a= $4.

答案： 8.4 $a^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{9}=(\frac{2}{3})^2,\therefore a=(\frac{2}{3})^4$,$\therefore\log_{\frac{2}{3}}a=4$.

9. 已知 $ \lg 2 = m $，$ \lg 3 = n $，试用 $ m,n $表示 $ \frac{\lg 12}{\lg 15} $.

答案： 9.解 $\because\lg2=m,\lg3=n$,$\frac{\lg12}{\lg15}=\frac{2\lg2+\lg3}{\lg3+\lg5}=\frac{2m+n}{n+1-\lg2}=\frac{2m+n}{n+1-m}$.