《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ y = f(x) $，$ x \in [-1,a](a ＞ -1) $ 是奇函数，则 $ a $ 等于(C)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.无法确定

答案： 1.C
∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴$a - 1 = 0$，即$a = 1$.

2. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(B)

答案： 2.B 选项A中的图象关于原点或$y$轴均不对称，故排除；选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于$y$轴对称，其表示的函数是偶函数.

3. 若函数 $ f(x) $ 满足 $ \frac{f(-x)}{f(x)} = 1 $，则 $ f(x) $ 的图象的对称轴是(B)

A.$ x $ 轴
B.$ y $ 轴
C.直线 $ y = x $
D.不能确定

答案： 3.B $\frac{f(-x)}{f(x)} = 1 \Rightarrow f(-x) = f(x)$，$f(x)$为偶函数，
∴其图象的对称轴为$y$轴.

4. 如图，给出奇函数 $ y = f(x) $ 的局部图象，则 $ f(-2) + f(-1) $ 的值为(A)


A.$-2$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

答案： 4.A $f(-2) + f(-1) = -f(2) - f(1)$
$= - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$.

5. 已知 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，且当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) = 2x - \frac{a}{x} $，若 $ f(2) + f(0) = 1 $，则 $ f(-3) $ 等于(A)

A.$-4$
B.$-3$
C.$-2$
D.$1$

答案： 5.A 因为$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0) = 0$，
又因为$f(2) + f(0) = 1$，所以$f(2) = 4 - \frac{a}{2} = 1$，解得$a = 6$，
所以$f(x) = 2x - \frac{6}{x}(x ＞ 0)$，所以$f(-3) = -f(3) = - \left(6 - \frac{6}{3}\right) = -4$.

6. (多选)下列函数中为奇函数的是(ABC)

A.$ f(x) = x^3 $
B.$ f(x) = x^5 $
C.$ f(x) = x + \frac{1}{x} $
D.$ f(x) = \frac{1}{x^2} $

答案： 6.ABC 选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称，且$f(-x) = -f(x)$，由奇函数的定义可知选ABC.

7. 设偶函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [-5,5] $，若当 $ x \in [0,5] $ 时，$ f(x) $ 的图象如图所示，则不等式 $ f(x) ＜ 0 $ 的解集是$\{x \mid -5 \leq x ＜ -2$，或$2 ＜ x \leq 5\}$.

答案： 7.$\{x \mid -5 \leq x ＜ -2$，或$2 ＜ x \leq 5\}$ 因为偶函数的图象关于$y$轴对称，
所以可根据对称性确定不等式$f(x) ＜ 0$的解集.
因为当$x \in [0,5]$时，$f(x) ＜ 0$的解集为$\{x \mid 2 ＜ x \leq 5\}$，
所以当$x \in [-5,0]$时，$f(x) ＜ 0$的解集为$\{x \mid -5 \leq x ＜ -2\}$.
所以$f(x) ＜ 0$的解集是$\{x \mid -5 \leq x ＜ -2$或$2 ＜ x \leq 5\}$.

8. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ [-3,0) \cup (0,3] $ 上的奇函数，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) $ 的图象如图所示，那么 $ f(x) $ 的值域是$[-3,-1) \cup (1,3]$.

答案： 8.$[-3,-1) \cup (1,3]$ 因为当$0 ＜ x \leq 3$时，函数单调递增，由图象可知$1 ＜ f(x) \leq 3$，由于函数$f(x)$是奇函数，所以当$-3 \leq x ＜ 0$时，$-3 \leq f(x) ＜ -1$.

9. 判断下列函数的奇偶性.
(1) $ f(x) = \sqrt{x} $；
(2) $ f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $；
(3) $ f(x) = \begin{cases} x^2 + x, x ＞ 0, \\ x^2 - x, x ＜ 0. \end{cases} $

答案： 9.解
(1)函数$f(x)$的定义域为$[0, +\infty)$，不关于原点对称，所以$f(x) = \sqrt{x}$是非奇非偶函数.
(2)$f(x)$的定义域为$[-1,0) \cup (0,1]$，关于原点对称.
$f(-x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{-x} = -f(x)$，所以$f(x)$为奇函数.
(3)$f(x)$的定义域为$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$，关于原点对称，
当$x ＞ 0$时，$-x ＜ 0$，
则$f(-x) = (-x)^{2} - (-x) = x^{2} + x = f(x)$；
当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，
则$f(-x) = (-x)^{2} + (-x) = x^{2} - x = f(x)$，
所以$f(x)$是偶函数.