《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

4. 化简$$ \sin^{2}(2018\pi-\alpha)+\sin^{2}(\frac{2019\pi}{2}+\alpha)-1 $$的结果为0.

答案： 4.0
【解析】原式=$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha-1=1-1=0$。

5. 已知$$ f(\sin x)=\cos3x $$，求$$ f(\cos10^{\circ}) $$的值.

答案： 5.$f(\cos10^{\circ})=f(\sin80^{\circ})=\cos240^{\circ}=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$。

已知$$ f(x)=\frac{\sin(n\pi-x)\cos(n\pi+x)}{\cos[(2n+1)\pi-x]}(n\in\mathbf{Z}) $$.
（1）化简$$ f(x) $$的表达式；
（2）求$$ [f(\frac{\pi}{2018})]^{2}+[f(\frac{1008\pi}{2018})]^{2} $$的值.

答案： （1）当$n=2k$时，$f(x)=\frac{\sin(-x)\cos x}{\cos(\pi-x)}=\frac{-\sin x\cos x}{-\cos x}=$
$\sin x$；
当$n=2k+1$时，$f(x)=\frac{\sin(\pi-x)\cos(\pi+x)}{\cos(\pi-x)}=$
$\frac{\sin x(-\cos x)}{-\cos x}=\sin x$。
综上，$f(x)=\sin x$。
(2)$[f(\frac{\pi}{2018})]^{2}+[f(\frac{1008\pi}{2018})]^{2}=\sin^{2}\frac{\pi}{2018}+$
$\sin^{2}\frac{1008\pi}{2018}=\sin^{2}\frac{\pi}{2018}+\sin^{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2018})=\sin^{2}\frac{\pi}{2018}+$
$\cos^{2}\frac{\pi}{2018}=1$。