《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 在一次测量水温变化的试验中，测得经过时间 $ x $（单位：$ min $）后水温 $ y $（单位：$ ^{\circ}C $）的数据如下.

（1）根据表中数据，画出散点图；
（2）为了较好地描述这个试验中水温与时间之间的关系，根据散点图，从函数 $ y = ke^{ax} $ 和 $ y = ax + b $ 中选择一个，并求出函数解析式.
分析：先描点画出水温关于时间的散点图；然后观察散点图的变化规律，选择一个函数模型；最后利用已知数据，求出函数模型中参数的值以确定函数解析式.

答案：
解：（1）描点画出水温 $ y $ 关于时间 $ x $ 的散点图（图 4.5 - 2）.
（2）由散点图可以看出 $ y $ 随 $ x $ 的变化规律可以用两个函数模型中的任何一个近似描述，下面选择函数 $ y = ke^{ax} $ 进行描述.
选取已知数据中的 $ x = 0 $ 和 $ x = 20 $ 对应的水温 $ y $ 的值，可以确定函数模型 $ y = ke^{ax} $ 中的参数值 $ a \approx -0.0544 $，$ k = 95 $. 所以能近似反映这个试验中水温与时间之间关系的函数解析式是 $ y = 95e^{-0.0544x} $.
评析：本例是一个实际的应用问题，需要通过散点图的变化规律及数据找到适合的拟合函数. 解决这种通过数据寻找拟合函数的问题，常常是要先画出散点图，确定相应的函数模型，然后通过数据确定模型中的参数. 本例中的参数，是通过首尾两组数据确定的. 当然也可以通过其他两组数据来确定，由此得到的函数也仅仅是实际问题的一个近似或估计函数模型. 在以后学习统计的过程中，还会学到用其他方法求这种函数模型中的参数.