《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 函数 $ y = \frac{2}{x} $ 在区间 $ [2, 4] $ 上的最大值、最小值分别是(A).

A.$ 1, \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{2}, 1 $
C.$ \frac{1}{2}, \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} $

答案： 1.A

2. 函数 $ f(x) = \begin{cases} x + 7, & x \in [-1, 1), \\ 2x + 6, & x \in [1, 2] \end{cases} $ 的最大值、最小值分别是(B).

A.$ 8, 6 $
B.$ 10, 6 $
C.$ 10, 8 $
D.以上都不对

答案： 2.B
【解析】当$x\in[-1,1)$时，$f(x)=x+7$单调递增，所
以$6\leqslant f(x)＜8$；
当$x\in[1,2]$时，$f(x)=2x+6$单调递增，所以$8\leqslantf(x)\leqslant10$.
综上，$f(x)$的值域为$[6,10]$，所以$f(x)$的最大值为
10，最小值为6.故选B.

3. 已知二次函数 $ f(x) = ax^2 + 2ax + 1 $($ a ＞ 0 $)在区间 $ [-4, 6] $ 上的最大值是 $ 25 $，则 $ a = $$\frac{1}{2}$.

答案： 3.$\frac{1}{2}$
【解析】由题意可知，二次函数$f(x)$的图象开口向上，
对称轴为$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，因为函数$f(x)$在区间$[-4,6]$上
的最大值是$f(6)=a×6^{2}+2a×6+1=48a+1=25$，
所以$a=\frac{1}{2}$.

4. 函数 $ y = \sqrt{3x - 2} + x - 4 $ 的最小值是$-\frac{10}{3}$.

答案： 4.$-\frac{10}{3}$
【解析】令$t=\sqrt{3x-2}$，则$x=\frac{t^{2}+2}{3},t\geqslant0$，
所以$y=\sqrt{3x-2}+x-4=t+\frac{t^{2}+2}{3}-4=\frac{1}{3}t^{2}+t-\frac{10}{3}$.
又因为二次函数$y=\frac{1}{3}t^{2}+t-\frac{10}{3}$的图象开口向上，对
称轴为$t=-\frac{3}{2}$，且$t\geqslant0$，
所以当$t=0$时，函数取得最小值$-\frac{10}{3}$.

已知函数 $ f(x) = x^2 + 2ax + 2 $，$ x \in [-5, 5] $.
（1）当 $ a = -1 $ 时，求函数的最大值和最小值；
（2）若 $ y = f(x) $ 在区间 $ [-5, 5] $ 上单调递增，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： （1）当$a = -1$时，$f(x)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$，$x\in[-5,5]$。
函数图象的对称轴为$x = 1$，$1\in[-5,5]$。
所以$f(x)_{\min}=f(1)=1$。
分别计算区间端点值：$f(-5)=(-5 - 1)^{2}+1 = 37$，$f(5)=(5 - 1)^{2}+1 = 17$。
因为$37＞17$，所以$f(x)_{\max}=37$。
（2）函数$f(x)=x^{2}+2ax + 2$的图象是开口向上的抛物线，对称轴为$x=-a$。
因为$y = f(x)$在区间$[-5,5]$上单调递增，所以$-a\leqslant - 5$，解得$a\geqslant5$。
综上，答案为：（1）最小值为$1$，最大值为$37$；（2）$a\geqslant5$。