《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知集合 $ A = \{ 2 \} $，$ B = \{ x | ax + 1 = 0, a \in \mathbf{R} \} $，$ B \subseteq A $，求 $ a $ 的值.
分析：根据条件 $ B \subseteq A $，可先讨论集合 $ B $ 为空集的情形. 如果 $ B $ 不是空集，那么明确表示出集合 $ B $ 中的元素，进而求出 $ a $ 的值.

答案： 解：（1）当 $ a = 0 $ 时，方程 $ ax + 1 = 0 $ 无解，此时 $ B = \varnothing $，符合题意.
（2）当 $ a \neq 0 $ 时，集合 $ B = \left\{ -\frac{1}{a} \right\} $，所以 $ -\frac{1}{a} \in A $，即 $ -\frac{1}{a} = 2 $，所以 $ a = -\frac{1}{2} $.
综合（1）（2），$ a = 0 $，或 $ a = -\frac{1}{2} $.
评析：在解决有关集合间的包含关系问题时，如果涉及参数，往往需要进行分类讨论，讨论中应注意空集的情形，看它是否符合题意.

1. 已知集合 $ A = \{ x | 0 ＜ x \leq 3 \} $，$ B = \{ x | 1 ＜ x ＜ 3 \} $，则下列说法正确的是(B).

A.若 $ a \in A $，则 $ a \in B $
B.若 $ a \in B $，则 $ a \in A $
C.若 $ a \notin A $，则 $ a \in B $
D.若 $ a \in A $，则 $ a \notin B $

答案： 1. B

2. 已知集合 $ A = \{ (x, y) | y = x^2 + 1 \} $，且 $ \{ (1, a), (2, b) \} \subseteq A $，则 $ a + b $ 的值为(C).

A.3
B.5
C.7
D.9

答案： 2. C

3. 已知集合 $ A = \{ -1, 3, 5 \} $，集合 $ B = \{ 3, a \} $，若 $ B \subseteq A $，则实数 $ a $ 的值为-1或5.

答案： 3. -1或5

4. 已知集合 $ A = \{ -3, 4 \} $，集合 $ B = \{ m, (n - 1)^2 \} $，若 $ A = B $，则 $ m $ 的值为-3，$ n $ 的值为-1或3.

答案： 4. -3 -1或3

5. 已知集合 $ M $ 中的元素均为自然数，且满足条件“当 $ a \in M $ 时，有另一元素 $ 4 - a \in M $”，若 $ M $ 中的元素个数为 4，求集合 $ M $.

答案： 5. 若M中只有1个元素，则根据已知可得a=4-a，故a=2.
若M中有2个元素，则集合M可以是{0,4},{1,3}.
综上可知，若M中的元素个数为4，则M={0,1,3,4}.