《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 如果 $ x ＞ 1 $，那么关于 $ x + \frac{9}{x - 1} $，下列结论正确的是(C)。

A.当且仅当 $ x = \frac{9}{x - 1} $ 时，$ x + \frac{9}{x - 1} $ 取得最小值
B.当且仅当 $ x = \frac{9}{x - 1} $ 时，$ x + \frac{9}{x - 1} $ 取得最大值
C.当且仅当 $ x - 1 = \frac{9}{x - 1} $ 时，$ x + \frac{9}{x - 1} $ 取得最小值
D.当且仅当 $ x - 1 = \frac{9}{x - 1} $ 时，$ x + \frac{9}{x - 1} $ 取得最大值

答案： 1.C

2. 给出下列三个命题：① $ x + \frac{1}{x} $ 的最小值是 $ 2 $；② $ \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}} $ 的最小值是 $ 2 $；③ $ \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} $($ x ＞ 0 $)的最小值是 $ 2 $。其中，真命题是③(填序号)。

答案： 2.③
【解析】当x＞0时，$x+\frac{1}{x}$的最小值才是2，故①不是真命题；
$\sqrt{x^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}\geqslant2，$当且仅当$x^{2}+2=1$时，等号成立，显然当$x\in\mathbf{R}$时$x^{2}$不可能为负数，故取不到最小值，故②不是真命题；
$x＞0,\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geqslant2，$当且仅当x=1时，等号成立，故最小值是2，故③是真命题.

3. 当 $ 0 ＜ x ＜ 2 $ 时，$ 2x(4 - 2x) $ 的最大值为4。

答案： 3.4
【解析】因为0＜x＜2，所以0＜4-2x＜4，
所以$2x(4-2x)\leqslant(\frac{2x+4-2x}{2})^{2}=4，$当且仅当2x=4-2x，即x=1时取等号.

4. 若 $ x ＞ -2 $，求 $ x + 5 + \frac{2}{x + 2} $ 的最小值及相应的 $ x $ 值。

答案： 4.因为x＞-2，所以x+2＞0，所以$x+5+\frac{2}{x+2}=x+2+\frac{2}{x+2}+3\geqslant2\sqrt{2}+3，$当且仅当$x+2=\frac{2}{x+2}，$即$x=-2+\sqrt{2}$时，$x+5+\frac{2}{x+2}$取得最小值$2\sqrt{2}+3.$所以$x+5+\frac{2}{x+2}$的最小值是$2\sqrt{2}+3，$相应的x值是$-2+\sqrt{2}.$

5. 若 $ 0 ＜ x ＜ 1 $，当 $ x $ 取何值时，$ x\sqrt{1 - x^{2}} $ 取得最大值？并求出最大值。

答案： 5.因为0＜x＜1，所以$x\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{1-x^{2}}\leqslant\frac{1}{2}，$当且仅当$x^{2}=1-x^{2}，$即$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$x\sqrt{1-x^{2}}$取得最大值$\frac{1}{2}.$

1. 已知 $ x ＞ 0 $，关于函数 $ y = \frac{x}{x^{2} - 2x + 4} $，以下结论正确的是(C)。

A.当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取得最小值 $ \frac{1}{2} $
B.当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取得最小值 $ 2 $
C.当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取得最大值 $ \frac{1}{2} $
D.当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取得最大值 $ 2 $

答案： 1.C
【解析】x＞0，函数$y=\frac{x}{x^{2}-2x+4}=\frac{1}{x-2+\frac{4}{x}}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}-2}=\frac{1}{2}，$当且仅当$x=\frac{4}{x}＞0，$即x=2时，等号成立，此时y取得最大值$\frac{1}{2}.$

2. 已知 $ x ＞ 1 $，求 $ \frac{x^{2} - 2x + 2}{x - 1} $ 的最小值及相应的 $ x $ 值。

答案： 2.当x＞1时，x-1＞0，所以$\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}\geqslant2，$当且仅当$x-1=\frac{1}{x-1}，$即x=2时，等号成立.所以$\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}$的最小值为2，相应的x值是2.