《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知 $\log_{6}3 = a$，$6^{b}=5$，试用 $a$，$b$ 表示 $\log_{12}15$.
分析：由已知条件 $6^{b}=5$，得 $b=\log_{6}5$. 要用 $a$，$b$ 表示 $\log_{12}15$，需要将 $\log_{12}15$ 变形为含有 $a$，$b$ 的形式，而 $a$，$b$ 都是以 $6$ 为底的对数，所以可以考虑用换底公式将 $\log_{12}15$ 转化为以 $6$ 为底的对数.

答案： 解：由 $6^{b}=5$，得 $\log_{6}5 = b$.
所以 $\log_{12}15=\frac{\log_{6}15}{\log_{6}12}=\frac{\log_{6}(3×5)}{\log_{6}(6×2)}=\frac{\log_{6}3+\log_{6}5}{\log_{6}6+\log_{6}2}=\frac{a + b}{1+\log_{6}\frac{6}{3}}=\frac{a + b}{1 + 1-\log_{6}3}=\frac{a + b}{2 - a}$.

1. 给出下列四个式子(已知 $a＞0$，且 $a\neq1$，$x＞y＞0$)：
①$\log_{a}x\cdot\log_{a}y=\log_{a}(x + y)$；
②$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}(xy)$；
③$\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}(x - y)$；
④$\log_{a}x-\log_{a}y=\frac{\log_{a}x}{\log_{a}y}$.
其中正确式子的个数是(A).

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 1.A
【解析】由已知可得，$\log_{a}x \cdot \log_{a}y \neq \log_{a}(x + y)$，①错误；$\log_{a}x - \log_{a}y = \log_{a}(\frac{x}{y})$，②错误；$\log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a}x - \log_{a}y$，③错误；$\log_{a}x - \log_{a}y = \log_{a}\frac{x}{y}$，④错误.正确式子的个数是$0$，故选A.

2. 设 $\log_{3}4\cdot\log_{4}8\cdot\log_{8}16\cdot\log_{16}m=\log_{\sqrt{2}}2$，则 $m$ 的值为(B).

A.$\frac{1}{2}$
B.$9$
C.$18$
D.$27$

答案： 2.B
【解析】由已知得$\frac{\lg 4}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 8}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 16}{\lg 8} \cdot \frac{\lg m}{\lg 16} = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^{2}=2$，整理得$\frac{\lg m}{\lg 3}=2$，
所以$\log_{3}m = 2$，$m = 3^{2}=9$.故选B.

3. 若 $a＞0$，$a^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}$，则 $\log_{\frac{2}{3}}a=$3.

答案： 3.3
【解析】因为$a ＞ 0$，$a^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}$，
所以$a = (\frac{4}{9})^{\frac{3}{2}}=[(\frac{2}{3})^{2}]^{\frac{3}{2}}=(\frac{2}{3})^{3}$，
所以$\log_{\frac{2}{3}}a = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{2}{3})^{3}=3$.

4. 若 $\lg2 = m$，$\lg3 = n$，则 $\log_{5}12=$$\frac{2m + n}{1 - m}$(用 $m$，$n$ 表示).

答案： 4.$\frac{2m + n}{1 - m}$
【解析】$\log_{5}12 = \frac{\lg 12}{\lg 5}=\frac{\lg(2^{2} × 3)}{1 - \lg 2}=\frac{2\lg 2 + \lg 3}{1 - \lg 2}=\frac{2m + n}{1 - m}$.

5. 计算：
（1）$\log_{2}\sqrt{\frac{7}{48}}+\log_{2}12-\frac{1}{2}\log_{2}42 - 1$；
（2）$(\log_{4}3+\log_{8}3)(\log_{3}2+\log_{9}2)$.

答案： 5.
(1)原式$=\log_{2}\sqrt{\frac{7}{48}}+\log_{2}12 - \log_{2}\sqrt{42}-\log_{2}2$
$=\log_{2}(\sqrt{\frac{7}{48}} × 12 × \sqrt{\frac{1}{42}} × \frac{1}{2})$
$=\log_{2}\sqrt{\frac{1}{8}}=\log_{2}2^{-\frac{3}{2}}=-\frac{3}{2}$.
(2)原式$=(\frac{\lg 3}{\lg 2^{2}}+\frac{\lg 3}{\lg 2^{3}})(\lg 2+\frac{1}{2} \cdot \lg 2)$
$=(\frac{1}{2} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 2}+\frac{1}{3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 2})(\lg 2+\frac{1}{2} \cdot \lg 3^{2})$
$=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) \frac{\lg 3}{\lg 2} \cdot (1+\frac{1}{2}) \cdot \lg 2$
$=\frac{5}{6} × \frac{3}{2}=\frac{5}{4}$.