《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 化简 $ \frac{\sqrt[3]{ab}(a - 2b)}{\sqrt{a} - \sqrt{2b}} ÷ \frac{\sqrt[3]{b^2}(\sqrt{a} + \sqrt{2b})}{\sqrt[3]{a}} × \sqrt[3]{ab^4} $ $ (a ＞ 2b ＞ 0) $.
分析：把根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质即可解决问题.

答案： 解：原式 $ = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}(a - 2b)}{\sqrt{a} - \sqrt{2b}} × \frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}(\sqrt{a} + \sqrt{2b})} × a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{4}{3}} $
$ = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}} (a - 2b)^{1 - 1} $
$ = ab $.
评析：化简时应注意运算顺序以及指数幂的运算性质、乘法公式的运用，化简的结果应为最简形式或数值.
变式：化简 $ 2\sqrt[4]{b} \left( - 3\sqrt[4]{b} × \frac{1}{\sqrt[3]{a}} \right) ÷ \left( - \frac{6\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt{b}} \right) $.
提示与答案：把根式化为分数指数幂的形式进行运算，可得化简结果为 $ \frac{b}{a} $.

1. 已知 $ a \in \mathbf{R} $，则下列各式中不一定有意义的是(C).

A.$ \sqrt{a^2} $
B.$ \sqrt[3]{a + 1} $
C.$ \sqrt[4]{a} $
D.$ \sqrt[5]{-a^2} $

答案： 1.C

2. 设 $ a ＞ 0 $，下列运算中正确的是(B).

A.$ a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}} $
B.$ a^{\frac{3}{2}} a^{-\frac{3}{2}} = 1 $
C.$ a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} = a $
D.$ aa^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} $

答案： 2.B

3. 已知 $ a ＞ 0 $，化简 $ \frac{(\sqrt[6]{a})^5 \sqrt[4]{a^5}}{\sqrt{a} \sqrt[3]{a} \sqrt[4]{a}} $ 的结果为a.

答案： 3.$a$

4. 计算下列各式：
(1) $ \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} + \left( 5 + \frac{1}{16} \right)^{\frac{1}{2}} - 8^{-\frac{1}{3}} + 3.14^0 \right]^{-\frac{1}{2}} $；
(2) $ 3a^{\frac{5}{2}} b^{\frac{1}{3}} ÷ \left( - \frac{3}{2} a^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{2}{3}} \right) $ $ (a ＞ 0, b ＞ 0) $.

答案： 4.
(1)原式=$(\frac{25}{4}+\frac{9}{4}-\frac{1}{2}+1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.
(2)原式=$-(3÷\frac{3}{2})×\frac{a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{2}{3}}}=-2a^{2}b$.