《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 化简 $ (5^{-\sqrt{2}} a^{\sqrt{8}} b^{\frac{\sqrt{2}}{2}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}} $.
分析：运用实数指数幂的运算性质即可解决问题.

答案： 解：$ (5^{-\sqrt{2}} a^{\sqrt{8}} b^{\frac{\sqrt{2}}{2}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5^{-\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot a^{\sqrt{8} × \frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot b^{\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}} = 5^{-1} a^2 b^{\frac{1}{2}} = \frac{a^2 \sqrt{b}}{5} $.
评析：在指数幂的运算中，要找出同底数幂优先进行运算，然后把所得结果进行化简.
变式：计算 $ (3^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sqrt[3]{a^{\sqrt{2}}})^{3\sqrt{2}} $.
提示与答案：运用无理数指数幂的运算性质计算，可得结果为 $ 27a^2 $.

1. $ \left( \frac{4}{2^{\sqrt{2}}} \right)^{2 + \sqrt{2}} $ 的值是(D).

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 1.D
【解析】$(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}})^{2+\sqrt{2}}=(\frac{2^{2}}{2^{\sqrt{2}}})^{2+\sqrt{2}}=(2^{2-\sqrt{2}})^{2+\sqrt{2}}=2^{4-2}=4$.故选D.

2. 已知 $ a = 2^{\sqrt{3}} $，$ b = \left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{3} + 2} $，则 $ ab = $$\frac{1}{4}$.

答案： 2.$\frac{1}{4}$
【解析】因为$a=2^{\sqrt{3}},b=(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}+2}=2^{-\sqrt{3}-2}$,所以$ab=2^{\sqrt{3}}×2^{-\sqrt{3}-2}=2^{-2}=\frac{1}{4}$.

3. 若 $ a, b ＞ 0 $，则 $ (3^{\sqrt{2}} a^{2\sqrt{2}} b^{-3\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = $$\frac{9a^{4}}{b^{6}}$.

答案： 3.$\frac{9a^{4}}{b^{6}}$
【解析】原式=$(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}\cdot(a^{2\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}\cdot(b^{-3\sqrt{2}})^{\frac{1}{2}×\sqrt{2}}=3^{2}\cdot a^{4}\cdot b^{-6}=\frac{9a^{4}}{b^{6}}$.

4. 已知 $ a ＞ 0 $，$ a^{2x} = 2 $，则 $ \frac{a^x + a^{-x}}{a^x - a^{-x}} = $3.

答案： 4.3
【解析】$\frac{a^{x}+a^{-x}}{a^{x}-a^{-x}}=\frac{(a^{x}+a^{-x})^{2}}{(a^{x}-a^{-x})(a^{x}+a^{-x})}=\frac{a^{2x}+2+a^{-2x}}{a^{2x}-a^{-2x}}= \frac{2+2+\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}}=3$.

1. 设 $ a ＞ 0 $，则下列运算中正确的是(D).

A.$ a^{\sqrt{2}} a^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a $
B.$ a ÷ a^{-\frac{3}{5}} = a^{\frac{3}{5}} $
C.$ a^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{2}} = a^{2\sqrt{2}} $
D.$ (a^{\sqrt{2}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a $

答案： 1.D
【解析】当$a＞0$时,$a^{\sqrt{2}}a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=a^{\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}=a^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$,选项A错误;
当$a＞0$时,$a÷ a^{-\frac{3}{5}}=a^{1+\frac{3}{5}}=a^{\frac{8}{5}}$,选项B错误;
当$a＞0$时,$a^{\sqrt{2}}+a^{\sqrt{2}}=2a^{\sqrt{2}}$,选项C错误;
当$a＞0$时,$(a^{\sqrt{2}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=a^{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=a$,选项D正确.
故选D.

2. 若 $ x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3 $，求 $ \frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} - 2}{x^2 + x^{-2} + 1} $ 的值.

答案： 2.由已知可得$x+x^{-1}+2=9$,所以$x+x^{-1}=7$,所以$x^{2}+x^{-2}=47$,
所以$\frac{x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}-2}{x^{2}+x^{-2}+1}=\frac{(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})(x+x^{-1}-1)}{47+1}=\frac{18-2}{47+1}=\frac{1}{3}$.
方法总结:
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.