《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 用描述法表示下列集合：
（1）所有正奇数组成的集合；
（2）所有被$3$除余$1$的正整数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中横轴上所有点的坐标组成的集合.
分析：用描述法表示集合时，先要弄清楚集合中的元素是什么，如集合中的元素是数字，还是点的坐标等；再分析出所有元素具有的共同特征.

答案： （1）$\{x\mid x = 2n - 1,n\in\mathbf{N}^*\}$；
（2）$\{x\mid x = 3n + 1,n\in\mathbf{N}\}$；
（3）$\{(x,y)\mid y = 0,x\in\mathbf{R}\}$.
解：（1）所有正奇数组成的集合可表示为$\{x\mid x = 2n - 1,n\in\mathbf{N}^*\}$；
（2）所有被$3$除余$1$的正整数组成的集合可表示为$\{x\mid x = 3n + 1,n\in\mathbf{N}\}$；
（3）平面直角坐标系中横轴上所有点的坐标组成的集合可表示为$\{(x,y)\mid y = 0,x\in\mathbf{R}\}$.
评析：用描述法表示一个集合时，关键是找出集合中元素的共同特征. 具体表示时应注意以下几点. ①写出元素的一般形式$x$；②说明所有元素$x$的共同特征$P(x)$；③不能出现未被说明的字母；④所有描述元素共同特征的内容都要写在表示集合的大括号内.

1. 下列选项中，错误的是(C).

A.$2\in\mathbf{N}^*$
B.$0\in\mathbf{N}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\in\mathbf{Q}$
D.$-1\in\mathbf{Z}$，且$-1\in\mathbf{R}$

答案： 1. C

2. 下列各组对象能组成集合的是(D).

A.$\pi$的近似值
B.某些正数
C.分母较小的分数
D.小于$10$的自然数

答案： 2. D

3. 设集合$D$是满足方程$y = x^2$的有序实数对$(x,y)$构成的集合，则$-1$∉$D$，$(-1,1)$∈$D$.(填“$\in$”或“$\notin$.”)

答案： 3. ∉ ∈

4. 用列举法表示下列集合：
（1）大于$0$且小于$10$的所有奇数组成的集合；
（2）算术平方根为小于$5$的整数的所有数组成的集合.

答案： 4.
(1) {1,3,5,7,9}；
(2){0,1,4,9,16}.

5. 集合常用的表示法有列举法和描述法，根据题中已给定的表示法，用另一种方法表示下列集合：
（1）$\{x\mid x\lt16,x = 3t,t\in\mathbf{N}\}$；
（2）$\{x\mid x = 2m,m\in\mathbf{Z},\vert m\vert\lt3\}$；
（3）$\{-2,3\}$；
（4）$\{-1,0,1\}$.

答案： 5.
(1)由x = 3t ＜ 16,t ∈ N得t = 0,1,2,3,4,5，
所以{x|x ＜ 16,x = 3t,t ∈ N} = {0,3,6,9,12,15}.
(2)由|m| ＜ 3,m ∈ Z得m = -2,-1,0,1,2，
所以{x|x = 2m,m ∈ Z,|m| ＜ 3} = {-4,-2,0,2,4}.
(3)-2,3是方程(x + 2)(x - 3) = 0的根，所以{-2,3} = {x|(x + 2)(x - 3) = 0}.
(4)-1,0,1是方程x³ = x的根，所以{-1,0,1} = {x|x³ = x}.

1. 已知$A=\{1,2,3\}$，$B=\left\{x\mid x = t，或x=\frac{1}{t},t\in A\right\}$，用列举法表示集合$B$为{\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3}.

答案： $1. {\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3}$