《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. “$ a ＜ \frac{1}{4} $”是“关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + x + a = 0 $ 有实数解”的(B).

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B
【解析】若关于$x$的方程$x^2 + x + a = 0$有实数解，则$\Delta = 1^2 - 4 × 1 × a \geq 0$，解得$a \leq \frac{1}{4}$.
所以“$a ＜ \frac{1}{4}$”是“关于$x$的方程$x^2 + x + a = 0$有实数解”的充分不必要条件.

2. 在 $ \triangle ABC $ 中，内角 $ A $，$ B $，$ C $ 的对边分别是 $ a $，$ b $，$ c $. 若 $ p $：$ A ＞ B $，$ q $：$ a ＞ b $，则 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件.

答案： 2.充要
【解析】根据三角形中“大角对大边，大边对大角”可知$p \Leftrightarrow q$，即$p$是$q$的充要条件.

3. 若 $ p $：$ x^2 + x - 6 = 0 $ 是 $ q $：$ ax + 1 = 0 $ 的必要不充分条件，则实数 $ a $ 的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$.

答案： 3.$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$
【解析】由$x^2 + x - 6 = 0$，可得$x = 2$或$x = -3$.
当$a = 0$时，$ax + 1 = 0$无解，此时$q \Rightarrow p$，不满足题意.
当$a \neq 0$时，$x = -\frac{1}{a}$.由题意应有$-\frac{1}{a} = 2$或$-\frac{1}{a} = -3$，解得$a = -\frac{1}{2}$或$a = \frac{1}{3}$.

4. 已知实数 $ x $，$ y $，$ p $：$ |x + y| = |x| + |y| $，$ q $：$ xy ＞ 0 $，判断 $ p $ 是 $ q $ 的什么条件.

答案： 4.当$xy ＞ 0$时，$x$，$y$同号，所以$|x + y| = |x| + |y|$.当$|x + y| = |x| + |y|$时，取$x = y = 0$，则$xy ＞ 0$不成立.所以$p$是$q$的必要不充分条件.

1. “$ x + m ＞ y + n $”是“$ x ＞ y $，且 $ m ＞ n $”的(B).

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B
【解析】不妨取$x = 100$，$m = 0$，$y = 5$，$n = 10$，
虽有$x + m ＞ y + n$，但是$m ＜ n$，故$x + m ＞ y + n \Rightarrow x ＞ y$，且$m ＞ n$；反之，$x ＞ y$，且$m ＞ n \Rightarrow x + m ＞ y + n$.
所以“$x + m ＞ y + n$”是“$x ＞ y$，且$m ＞ n$”的必要不充分条件.

2. 已知同一平面内的锐角 $ \alpha $ 和钝角 $ \beta $，则“$ \alpha $ 的两边分别垂直于 $ \beta $ 的两边”是“$ \alpha + \beta = 180^{\circ} $”的充分不必要条件.

答案： 2.充分不必要
【解析】已知同一平面内的锐角$\alpha$和钝角$\beta$，则$\alpha$的两边分别垂直于$\beta$的两边$\Rightarrow \alpha + \beta = 180^{\circ}$.
若$\alpha + \beta = 180^{\circ}$，则$\alpha$的两边有可能不垂直于$\beta$的两边.
所以“$\alpha$的两边分别垂直于$\beta$的两边”是“$\alpha + \beta = 180^{\circ}$”的充分不必要条件.