《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

2. 下列函数是幂函数的是(B).

A.$ y = 2x $
B.$ y = x^{\frac{2}{3}} $
C.$ y = 2x^{2} - x $
D.$ y = x^{3} + 1 $

答案： 2.B

3. 不等式 $ x^{3} ＞ 27 $ 的解集是(3,+\infty).

答案： 3.$(3,+\infty)$

4. 若 $ (2a - 1)^{3} \geq (a - 2)^{3} $，则实数 $ a $ 的取值范围是[-1,+\infty).

答案： 4.$[-1,+\infty)$

5. 用描点法画出函数 $ f(x) = x^{4} $ 的图象，求函数的定义域、值域，并讨论函数的单调性和奇偶性.

答案：
5..$f(x)=x^{4}$的定义域为$\mathbf{R}$，值域为$[0,+\infty)$，在$(-\infty,0)$上单调递减，在$[0,+\infty)$上单调递增，是偶函数.

1. 已知幂函数 $ y = f(x) $ 的图象经过点 $ (3, 9) $，则它的单调递减区间为(C).

A.$ (-\infty, +\infty) $
B.$ (0, +\infty) $
C.$ (-\infty, 0) $
D.$ (1, +\infty) $

答案： 1.C
【解析】因为幂函数$y = f(x)=x^{\alpha}$的图象经过点$(3,9)$，
所以$3^{\alpha}=9$，所以$\alpha = 2$，
所以$f(x)=x^{2}$，
所以$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$.
故选C.

2. 当 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ \sqrt{x} $，$ x^{2} $，$ x^{3} $，$ x^{-1} $ 的大小关系是(C).

A.$ \sqrt{x} ＜ x^{2} ＜ x^{3} ＜ x^{-1} $
B.$ x^{-1} ＜ \sqrt{x} ＜ x^{2} ＜ x^{3} $
C.$ x^{3} ＜ x^{2} ＜ \sqrt{x} ＜ x^{-1} $
D.$ x^{-1} ＜ x^{3} ＜ x^{2} ＜ \sqrt{x} $

答案： 2.C
【解析】不妨令$x=\frac{1}{4}$，则$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，$x^{2}=(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，$x^{3}=(\frac{1}{4})^{3}=\frac{1}{64}$，$x^{-1}=(\frac{1}{4})^{-1}=4$，
故$x^{3}＜x^{2}＜\sqrt{x}＜x^{-1}$.故选C.

3. 若 $ (m + 2)^{3} + (2m - 1)^{3} ＜ 0 $，则实数 $ m $ 的取值范围是(-\infty,-\frac{1}{3}).

答案： 3.$(-\infty,-\frac{1}{3})$
【解析】由$(m + 2)^{3}+(2m - 1)^{3}＜0$，可得$(m + 2)^{3}＜-(2m - 1)^{3}=[-(2m - 1)]^{3}$，所以$m + 2＜-(2m - 1)$，解得$m＜-\frac{1}{3}$，即$m$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{3})$.

4. 已知 $ f(x) = \begin{cases} x^{3}, & x \geq 0, \\ -x^{3}, & x ＜ 0. \end{cases} $ 若 $ f(a - 1) ＜ f(2a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是(-\infty,-1)\cup(\frac{1}{3},+\infty).

答案： 4.$(-\infty,-1)\cup(\frac{1}{3},+\infty)$
【解析】由已知得$f(x)$为偶函数，且在$[0,+\infty)$上单调递增，所以$f(a - 1)＜f(2a)$，这等价于$|a - 1|＜|2a|$，
解得$a＜-1$，或$a＞\frac{1}{3}$.