《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知 $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$，$\beta = -\frac{5\pi}{3}$，求 $\frac{\tan \alpha \cos \alpha}{|\tan \alpha \cos \alpha|} · \sin \beta$ 的值.
分析：注意到 $\frac{\tan \alpha \cos \alpha}{|\tan \alpha \cos \alpha|} · \sin \beta$ 的结构特点，关键是确定分式的值，由此判断出 $\tan \alpha$ 和 $\sin \alpha$ 的符号，去掉 $|\tan \alpha \cos \alpha|$ 中的绝对值符号即可.

答案： 解：因为 $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$，即 $\alpha$ 是第四象限角，所以 $\tan \alpha ＜ 0$，$\cos \alpha ＞ 0$，于是 $\frac{\tan \alpha \cos \alpha}{|\tan \alpha \cos \alpha|} = \frac{\tan \alpha \cos \alpha}{-\tan \alpha \cos \alpha} = -1$.
因为 $\beta = -\frac{5\pi}{3}$，所以 $\sin \beta = \sin(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(-2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
所以 $\frac{\tan \alpha \cos \alpha}{|\tan \alpha \cos \alpha|} · \sin \beta = (-1) × \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
评析：通常根据角的范围来确定三角函数值的符号. 求某个角的三角函数值时，一般要将任意角三角函数值转化为锐角三角函数值来计算.

1. $\cos(-690^{\circ})$ 的值为(A).

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 1.A

2. 若 $\sin \alpha \cos \alpha ＜ 0$，则角 $\alpha$ 的终边位于(A).

A.第二象限或第四象限
B.第二象限或第三象限
C.第一象限或第二象限
D.第三象限或第四象限

答案： 2.A
【解析】因为$\sin\alpha\cos\alpha＜0$，所以$\begin{cases}\sin\alpha＞0,\\\cos\alpha＜0,\end{cases}$或$\begin{cases}\sin\alpha＜0,\\\cos\alpha＞0,\end{cases}$
所以角$\alpha$的终边位于第二象限或第四象限.

3. 计算 $\cos^{2}2\pi + \frac{1}{2}\sin^{2}\frac{\pi}{2} + \sin \frac{3\pi}{2}\tan \frac{9\pi}{4}$ 的值是$\frac{1}{2}$.

答案： 3.$\frac{1}{2}$