《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 根据统计，一名工人组装第$x$件某产品所用的时间(单位：$\mathrm{min}$)为

$f(x)=\begin{cases}\frac{k}{\sqrt{x}}, & x\lt a, \\ \frac{k}{\sqrt{a}}, & x\geq a,\end{cases}$
其中$a$，$k$均为常数. 已知这位工人组装第$9$件产品用时$20\mathrm{min}$，组装第$a$件产品用时$15\mathrm{min}$，那么$k$和$a$的值分别是60,16.

答案： 1.60,16
[解析]根据题意可知$9 ＜ a$，
所以$\begin{cases} \frac{k}{\sqrt{9}} = 20, \\ \frac{k}{\sqrt{a}} = 15, \end{cases}$解得$k = 60$，$a = 16$.

2. 某租赁公司拥有汽车$100$辆. 当每辆车的月租金为$3000$元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加$50$元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费$150$元，未租出的车每辆每月需要维护费$50$元，则当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益取得最大值，为307050元.

答案： 2.4050 307050
[解析]设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
$f(x) = (100 - \frac{x - 3000}{50})(x - 150) - \frac{x - 3000}{50} × 50$
$= - \frac{1}{50}(x - 4050)^2 + 307050$.
因为$- \frac{1}{50} ＜ 0$，故当$x = 4050$时，$f(x)$取得最大值307050.

3. 某厂生产某种产品的年固定成本为$250$万元，年产量为$x$千件，需另投入成本为$C(x)$（单位：万元）. 当年产量不足$80$千件时，$C(x)=\frac{1}{3}x^{2}+10x$；当年产量不小于$80$千件时，$C(x)=51x+\frac{10000}{x}-1450$. 每件产品售价为$0.05$万元. 通过市场分析发现，该厂生产的产品能全部销售完.
（1）写出年利润$L(x)$（单位：万元）关于年产量$x$的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大? 最大利润是多少?

答案： 3.
(1)$L(x) = \begin{cases} - \frac{1}{3}x^2 + 40x - 250, & 0 ＜ x ＜ 80, \\ 1200 - (x + \frac{10000}{x}), & x \geq 80. \end{cases}$
(2)当$0 ＜ x ＜ 80$时，$L(x) = - \frac{1}{3}x^2 + 40x - 250 = - \frac{1}{3}(x - 60)^2 + 950$.所以当$x = 60$时，$L(x)$取得最大值950.
当$x \geq 80$时，$L(x) = 1200 - (x + \frac{10000}{x}) \leq 1200 - 200 = 1000$，当且仅当$x = \frac{10000}{x}$，即$x = 100$时，等号成立.
所以当$x = 100$时，$L(x)$取得最大值1000.
综上，当年产量为100千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元.

1. (2021·全国甲卷文科)设 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数，且 $ f(1+x)=f(-x) $。若 $ f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3} $，则 $ f\left(\frac{5}{3}\right)= $(C)。

A.$ -\frac{5}{3} $
B.$ -\frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{5}{3} $

答案： 1. C
【解析】由题意，得$f(\frac{5}{3})=f(1+\frac{2}{3})=f(-\frac{2}{3})=-f(\frac{2}{3})，$而$f(\frac{2}{3})=f(1-\frac{1}{3})=f(\frac{1}{3})=-f(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3}，$故$f(\frac{5}{3})=\frac{1}{3}.$故选C.