《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 化简或求值：
$（1） \frac{\cos(\pi-\alpha)\tan(3\pi+\alpha)}{\sin(-\alpha)} ；$
$（2） \sin(-660^{\circ})\cos(210^{\circ})-\tan(-1125^{\circ}) .$
分析：（1）关键是利用诱导公式将分子、分母中的各项都化归为角$\alpha$的三角函数.（2）关键是利用诱导公式将式子中的每一部分都化归为锐角三角函数.

答案： 解：（1）原式$ =\frac{-\cos\alpha\tan(\pi+\alpha)}{-\sin\alpha} =\frac{-\cos\alpha\tan\alpha}{-\sin\alpha} =\frac{-\cos\alpha·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{-\sin\alpha} =1. （2）$原式$ =\sin(-2×360^{\circ}+60^{\circ})\cos(180^{\circ}+30^{\circ})-\tan(-3×360^{\circ}-45^{\circ}) =\sin60^{\circ}(-\cos30^{\circ})-\tan(-45^{\circ}) =\sin60^{\circ}(-\cos30^{\circ})+\tan45^{\circ} =\frac{\sqrt{3}}{2}×(-\frac{\sqrt{3}}{2})+1 =\frac{1}{4}. $

1. $$ \cos300^{\circ} $$的值是(C).

$A. -\frac{\sqrt{3}}{2} $
$B. \frac{\sqrt{3}}{2} $
$C. \frac{1}{2} $
$D. -\frac{1}{2} $

答案： 1.C

2. $$ \sin600^{\circ}+\tan240^{\circ} $$的值是(B).

$A. -\frac{\sqrt{3}}{2} $
$B. \frac{\sqrt{3}}{2} $
$C. -\frac{1}{2}+\sqrt{3} $
$D. \frac{1}{2}+\sqrt{3} $

答案： 2.B
【解析】$\sin 600^{\circ}+\tan 240^{\circ}=\sin(720^{\circ}-120^{\circ})+$
$\tan(180^{\circ}+60^{\circ})=-\sin 120^{\circ}+\tan 60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

3. 计算$$ \sin(-\frac{\pi}{6})-2\sin\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}= $$$\sqrt{3}-1$.

答案： 3.$\sqrt{3}-1$
【解析】原式=$-\sin \frac{\pi}{6}+2\sin \frac{\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}+$
$2×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\sqrt{3}-1$。

4. 化简$$ \sin^{2}(\pi-\alpha)+\cos^{2}(3\pi+\alpha)-1= $$0.

答案： 4.0

若$$ \cos(\alpha-\pi)=-\frac{2}{3} $$，求$$ \frac{\sin(\alpha-2\pi)+\sin(-\alpha-3\pi)\cos(\alpha-3\pi)}{\cos(\pi-\alpha)-\cos(-\pi-\alpha)\cos(\alpha-4\pi)} $$的值.

答案： 原式=$\frac{-\sin(2\pi-\alpha)-\sin(3\pi+\alpha)\cos(3\pi-\alpha)}{-\cos\alpha-(-\cos\alpha)\cos\alpha}$
$=\frac{\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha+\cos^{2}\alpha}$
$=\frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{-\cos\alpha(1-\cos\alpha)}$
$=-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$。
因为$\cos(\alpha-\pi)=\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=-\frac{2}{3}$，所以
$\cos\alpha=\frac{2}{3}$，所以$\alpha$为第一象限角或第四象限角。
(1)当$\alpha$为第一象限角时，
$\cos\alpha=\frac{2}{3},\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
所以原式=$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(2)当$\alpha$为第四象限角时，
$\cos\alpha=\frac{2}{3},\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，
所以原式=$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
综上，原式=$\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$。