《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知集合 $ A = \{ -1, a + 1, a^2 \} $，$ B = \{ a - 1, a - 2, a^2 + 2 \} $，若 $ A \cap B = \{ -1 \} $，求 $ a $ 的值。
分析：从 $ -1 $ 是集合 $ A $，$ B $ 的共同元素入手，考虑集合 $ B $ 中的哪些元素可能是 $ -1 $，进行分类讨论逐一求解。

答案： 解：由 $ A \cap B = \{ -1 \} $，得 $ -1 \in B $。
因为 $ a^2 + 2 ＞ 0 $，所以 $ a^2 + 2 \neq -1 $。有两种可能：$ a - 1 = -1 $，或 $ a - 2 = -1 $。
(1) 若 $ a - 1 = -1 $，则 $ a = 0 $。此时 $ A = \{ -1, 1, 0 \} $，$ B = \{ -1, -2, 2 \} $，则 $ A \cap B = \{ -1 \} $，符合题意。
(2) 若 $ a - 2 = -1 $，则 $ a = 1 $。此时 $ A = \{ -1, 2, 1 \} $，$ B = \{ 0, -1, 3 \} $，则 $ A \cap B = \{ -1 \} $，符合题意。
综上，$ a = 0 $，或 $ a = 1 $。
评析：对于含有参数的两个集合的交集的问题，应抓住这两个集合具有共同元素这一特征，根据集合中元素的确定性和互异性，运用分类思想，对各种可能出现的情形进行讨论。
变式：已知集合 $ M = \{ 1, 2, a - 2 \} $，$ N = \{ -1, 3, a \} $，且集合 $ M \cup N $ 恰有 5 个元素。
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 求 $ M \cap N $。
提示与答案：
(1) 显然 $ a - 2 \neq a $，又因为集合 $ M \cup N $ 恰有 5 个元素，所以 $ a - 2 = 3 $，或 $ a = 2 $；
(2) 当 $ a - 2 = 3 $ 时，$ M \cap N = \{ 3 \} $；当 $ a = 2 $ 时，$ M \cap N = \{ 2 \} $。

1. 已知集合 $ A = \{ 1, 3, 4, 6 \} $，$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 5 \} $，则 $ A \cup B $ 等于(D)。

A.$ \{ 1, 3 \} $
B.$ \{ 0, 2, 5 \} $
C.$ \{ 0, 2, 4, 6 \} $
D.$ \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $

答案： 1.D

2. 若集合 $ A = \{ x | -1 ＜ x ＜ 3 \} $，$ B = \{ x | x \leq 2 \} $，则 $ A \cap B $ 等于(C)。

A.$ \{ x | x ＞ -1 \} $
B.$ \{ x | 2 \leq x ＜ 3 \} $
C.$ \{ x | -1 ＜ x \leq 2 \} $
D.$ \{ x | -1 \leq x ＜ 2 \} $

答案： 2.C

3. 若集合 $ M = \{ x \in \mathbf{Z} | -1 \leq x \leq 2 \} $，$ N = \{ x | x(x - 1)(x + 2) = 0 \} $，则 $ M \cap N $ 等于{0,1}。

答案： 3.{0,1}