《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

给出如下命题：
①若点 $P(m, 2m)$($m \neq 0$)为角 $\alpha$ 终边上一点，则 $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②若 $\cos \alpha ＞ 0$，则 $\alpha$ 一定是第一象限角或第四象限角；
③ $\tan \frac{19\pi}{6}$，$\sin 2 - \cos 2$ 的值都大于 $0$；
④终边不同的角的同名三角函数的值不相等.
其中正确命题的序号是③.

答案： ③
【解析】若点$P(m,2m)(m\neq0)$为角$\alpha$终边上一点，
则$x=m,y=2m,r=\pm\sqrt{5}|m|,\sin\alpha=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故①错误；
当$\alpha=2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，$\cos\alpha=\cos2k\pi=1$也符合已知条件，但不属于第一象限角或第四象限角，故②错误；
$\tan\frac{19\pi}{6}=\tan(3\pi+\frac{\pi}{6})=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}＞0$；
因为$\frac{\pi}{2}＜2＜\pi$，所以$\sin2＞0,\cos2＜0$，
所以$\sin2-\cos2＞0$，故③正确；
$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2},\sin150^{\circ}=\frac{1}{2}$，$30^{\circ}$与$150^{\circ}$的终边不同，但
正弦值相等，故④错误.
故选③.