《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知 $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}$，则 $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \tan \alpha$ 的值为(D).

A.$-2$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$

答案： 1.D
【解析】由$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}$可得$2\sin\alpha\cos\alpha=1$，所以
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\tan\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=2$.

2. 已知角 $\alpha$ 的终边在直线 $y = 3x$ 上，则 $\sin^{2}\alpha + \sin \alpha \cos \alpha$ 等于$\frac{6}{5}$.

答案： 2.$\frac{6}{5}$
【解析】因为角$\alpha$的终边在直线$y=3x$上，所以$\tan\alpha=$
$\frac{y}{x}=3$，
则$\frac{\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{\tan^{2}\alpha+\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha+1}=$
$\frac{\frac{12}{10}}=\frac{6}{5}$.
方法总结：
已知$\tan\alpha$的值，求关于$\sin\alpha,\cos\alpha$
齐次式的值的方法
(1)对于形如$\frac{a\sin\alpha+b\cos\alpha}{c\sin\alpha+d\cos\alpha}$或
$a\sin^{2}\alpha+b\sin\alpha\cos\alpha+c\cos^{2}\alpha$的分式，分子、分母同时
除以$\cos\alpha$或$\cos^{2}\alpha$，将正弦、余弦转化为正切，从而
求值.
(2)对于形如$a\sin^{2}\alpha+b\sin\alpha\cos\alpha+c\cos^{2}\alpha$的式子，
将其看作分母为$1$的分式，再将分母$1$变形为$\sin^{2}\alpha+$
$\cos^{2}\alpha$，转化为形如$\frac{a\sin^{2}\alpha+b\sin\alpha\cos\alpha+c\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}$的式子
求值.

3. 如果点 $P(\sin \alpha, \cos \alpha)$ 位于第四象限，判断 $\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}$ 的正负.

答案： 3.因为点$P(\sin\alpha,\cos\alpha)$位于第四象限，所以$\sin\alpha＞$
$0,\cos\alpha＜0$，所以$\alpha$是第二象限角，即$\frac{\pi}{2}+2k\pi＜\alpha＜\pi+$
$2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，所以$\frac{\pi}{4}+k\pi＜\frac{\alpha}{2}＜\frac{\pi}{2}+k\pi$.当$\frac{\alpha}{2}$是第一象限角
时，$\sin\frac{\alpha}{2}＞\cos\frac{\alpha}{2}$，即$\sin\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{\alpha}{2}＞0$；当$\frac{\alpha}{2}$是第三象限
角时，$\sin\frac{\alpha}{2}＜\cos\frac{\alpha}{2}$，即$\sin\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{\alpha}{2}＜0$.