《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知角$\alpha$的终边与$y$轴的非负半轴重合.
（1）在$-360^{\circ}\sim360^{\circ}$的范围内找出与角$\alpha$终边相同的角；
（2）$\frac{\alpha}{2}$是第几象限角？
分析：由所有与角$\alpha$的终边相同的角的表达形式，可得到符合（1）的要求的角；将$\frac{\alpha}{2}$表示为与其终边相同的角的形式，即可得到（2）的答案.

答案： 解：因为$90^{\circ}$角与角$\alpha$的终边相同，所以$\alpha = 90^{\circ}+k·360^{\circ},k\in\mathbf{Z}$.
（1）在$-360^{\circ}\sim360^{\circ}$的范围内与角$\alpha$终边相同的角有
$90^{\circ}+0×360^{\circ}=90^{\circ}$，
$90^{\circ}+(-1)×360^{\circ}=-270^{\circ}$.
（2）$\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(90^{\circ}+k·360^{\circ})$
$=45^{\circ}+k·180^{\circ},k\in\mathbf{Z}$.
当$k$为偶数时，不妨设$k = 2n,n\in\mathbf{Z}$，则$\frac{\alpha}{2}=45^{\circ}+2n·180^{\circ}=45^{\circ}+n·360^{\circ},n\in\mathbf{Z}$. 它们是与$45^{\circ}$角的终边相同的角，所以$\frac{\alpha}{2}$是第一象限角.
当$k$为奇数时，不妨设$k = 2n + 1,n\in\mathbf{Z}$，则$\frac{\alpha}{2}=45^{\circ}+(2n + 1)·180^{\circ}=225^{\circ}+n·360^{\circ},n\in\mathbf{Z}$. 它们是与$225^{\circ}$角的终边相同的角，所以$\frac{\alpha}{2}$是第三象限角.
评析：两个角终边是否相同，就看它们是否相差$360^{\circ}$的整数倍. 判断角的终边的位置通常看这个角与$0^{\circ}\sim360^{\circ}$范围内哪一个角的终边相同即可. 若判断形如$\alpha +k·180^{\circ}(k\in\mathbf{Z})$角的终边位置，需要对整数$k$分奇偶数进行讨论，也可以通过将角$\alpha$的终边按逆时针$(k\gt0)$、顺时针$(k\lt0)$方向旋转$k$个半周得出结论.

1. 下列角中终边与$330^{\circ}$角相同的角是(B).

A.$30^{\circ}$
B.$-30^{\circ}$
C.$510^{\circ}$
D.$-510^{\circ}$

答案： 1.B

2. 把$-1485^{\circ}$转化为$\alpha +k\cdot360^{\circ}(0^{\circ}\leq\alpha\lt360^{\circ},k\in\mathbf{Z})$的形式是(D).

A.$45^{\circ}-4×360^{\circ}$
B.$-45^{\circ}-4×360^{\circ}$
C.$-45^{\circ}-5×360^{\circ}$
D.$315^{\circ}-5×360^{\circ}$

答案： 2.D
【解析】选项B和选项C中,α不在0°～360°范围内；
选项A的结果不是-1485°.只有选项D正确.

3. $-1120^{\circ}$角是(D).

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 3.D
【解析】由-1120°=-3×360°-40°可知,-1120°与
-40°终边相同,是第四象限角.

4. 终边在第二象限的角的集合可以表示为$\{\alpha\mid 90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in \mathbf{Z}\}$.

答案： 4.$\{\alpha\mid 90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in \mathbf{Z}\}$

若角$\alpha$的终边与$480^{\circ}$角的终边重合，则$\frac{\alpha}{2}$是第一或第三象限角.

答案： 一或第三
【解析】因为角α的终边与480°角的终边重合,所以
$\alpha=480^{\circ}+360^{\circ}\cdot k,(k\in \mathbf{Z})$,则$\frac{\alpha}{2}=240^{\circ}+180^{\circ}\cdot k,(k\in \mathbf{Z})$.
当k为奇数时,$\frac{\alpha}{2}$是第一象限角；
当k为偶数时,$\frac{\alpha}{2}$是第三象限角.