《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 $ 300\ m^{2} $ 的内接矩形花园（涂色部分），求其边长的最大值.

答案： 3.设矩形的一边长为$x\mathrm{m}$，其邻边长为$y\mathrm{m}$，矩形面积为$S\mathrm{m}^{2}$.根据相似三角形的对应边成比例，可得$y = 40 - x(0＜x＜40)$，所以$S=-x^{2}+40x$.由$S \geq 300$，得$-x^{2}+40x \geq 300$，解得$10 \leq x \leq 30$.所以邻边长$y$也满足$10 \leq y \leq30$.综上，矩形花园的边长的最大值为$30\mathrm{m}$.

1. 设 $ a\in \mathbf{R} $，若关于 $ x $ 的不等式 $ x^{2}-x + a＞0 $ 在 $ \mathbf{R} $ 上恒成立，则 $ a $ 的取值范围为$\{a\mid a＞\frac{1}{4}\}$.

答案： 1.$\{a\mid a＞\frac{1}{4}\}$
【解析】因为$x^{2}-x + a＞0$在$\mathbf{R}$上恒成立，所以$\Delta =1 - 4a＜0$，解得$a＞\frac{1}{4}$.

2. 要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 $ x $（单位：$ cm $）的边与这条边上的高之和为 $ 40\ cm $，这个三角形的面积 $ S $（单位：$ cm^{2} $）随 $ x $ 的变化而变化.
（1）请直接写出 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
（2）若要把这个三角形的面积控制为不大于 $ 150\ cm^{2} $，求 $ x $ 的取值范围.

答案： 2.
(1)$S=\frac{1}{2}x(40 - x)(0＜x＜40)$.
(2)根据题意，有$S=\frac{1}{2}x(40 - x) \leq 150$，解得$x \leq 10$，或$x \geq 30$.又$0＜x＜40$，所以$x$的取值范围是$\{x\mid 0＜x \leq10,或30 \leq x＜40\}$.