《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 判断下列函数的奇偶性：
（1）$ f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $；
（2）$ f(x) = 0 $，$ x \in [-6, -2] \cup [2, 6] $；
（3）$ f(x) = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} $；
（4）$ f(x) = \begin{cases} 1 - x^2, & x ＞ 0, \\ 0, & x = 0, \\ x^2 - 1, & x ＜ 0. \end{cases} $
分析：根据函数的奇偶性的定义，即可得出结论.

答案： 解：（1）函数 $ f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $ 的定义域为 $ [-1, 0) \cup (0, 1] $.
因为 $ \forall x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $，都有 $ -x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $，且
$\begin{aligned}f(-x) &= \frac{\sqrt{1 - (-x)^2}}{-x}\\&= -\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} = -f(x),\end{aligned}$
所以函数 $ f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $ 为奇函数.
（2）因为 $ \forall x \in [-6, -2] \cup [2, 6] $，都有 $ -x \in [-6, -2] \cup [2, 6] $，且 $ f(-x) = 0 = -f(x) $，$ f(-x) = 0 = f(x) $，所以函数 $ f(x) = 0 $，$ x \in [-6, -2] \cup [2, 6] $ 既是奇函数也是偶函数.
（3）函数 $ f(x) = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} $ 的定义域为 $ [-1, 1) $. 因为 $ \exists x_0 = -1 \in [-1, 1) $，而 $ -x_0 = 1 \notin [-1, 1) $，所以函数 $ f(x) = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} $ 既不是奇函数也不是偶函数.
（4）函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $. $ \forall x \in \mathbf{R} $，都有 $ -x \in \mathbf{R} $，且
当 $ x ＞ 0 $ 时，$ -x ＜ 0 $，$ f(-x) = (-x)^2 - 1 = x^2 - 1 = -f(x) $；
当 $ x = 0 $ 时，$ -x = 0 $，$ f(-x) = f(0) = 0 = -f(x) $；
当 $ x ＜ 0 $ 时，$ -x ＞ 0 $，$ f(-x) = 1 - (-x)^2 = 1 - x^2 = -f(x) $.
综上可知，$ \forall x \in \mathbf{R} $，都有 $ f(-x) = -f(x) $，所以函数 $ f(x) $ 是奇函数.
评析：用定义判断函数 $ f(x) $ 奇偶性的一般步骤如下. 先确定函数的定义域 $ I $，然后判断 $ \forall x \in I $，$ -x \in I $ 是否成立. 若成立，则继续判断 $ \forall x \in I $，$ f(-x) = f(x) $ 或 $ f(-x) = -f(x) $ 是否成立. 若 $ f(-x) = f(x) $，则 $ f(x) $ 为偶函数；若 $ f(-x) = -f(x) $，则 $ f(x) $ 为奇函数；若 $ f(-x) = f(x) $，且 $ f(-x) = -f(x) $，则 $ f(x) $ 既是奇函数又是偶函数. 判断分段函数的奇偶性时，要看这个函数由哪几段构成，然后在定义域内逐段进行分析.