《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 试比较下列各题中两个值的大小：
（1）$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{\frac{1}{3}}$，$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{\frac{2}{3}}$；
（2）$0.9^{5.1}$，$5.1^{0.9}$；
（3）$a^{1 + a}$，$a^{1 + \frac{1}{a}}$（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）.

答案： 分析：
（1）中的两个值恰好可以看作一个指数函数的两个函数值，直接利用指数函数的单调性即可比较大小；
（2）中的两个值不能看作一个指数函数的两个函数值，通过利用函数 $ y = 0.9^x $ 和 $ y = 5.1^x $ 的单调性，并借助这两个函数在 $ x = 0 $ 时取得相同的函数值 $ y = 1 $ 即可比较大小；
（3）中的两个值，可以看作指数函数 $ y = a^x $ 的两个函数值，因为指数函数 $ y = a^x $ 的单调性与 $ a $ 的取值有关，所以要分类讨论.
解：
（1）因为函数 $ y = \left( \dfrac{1}{3} \right)^x $ 是减函数，且 $ \dfrac{1}{3} ＜ \dfrac{2}{3} $，所以 $ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{\frac{1}{3}} ＞ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{\frac{2}{3}} $.
（2）由于函数 $ y = 0.9^x $ 和 $ y = 5.1^x $ 分别是减函数和增函数，因此 $ 0.9^{5.1} ＜ 0.9^0 = 1 $，$ 5.1^{0.9} ＞ 5.1^0 = 1 $. 所以 $ 0.9^{5.1} ＜ 5.1^{0.9} $.
（3）当 $ a ＞ 1 $ 时，$ y = a^x $ 是增函数，且 $ 1 + a ＞ 1 + \dfrac{1}{a} $，所以 $ a^{1 + a} ＞ a^{1 + \frac{1}{a}} $. 当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，$ y = a^x $ 是减函数，且 $ 1 + a ＜ 1 + \dfrac{1}{a} $，所以 $ a^{1 + a} ＞ a^{1 + \frac{1}{a}} $. 综上，$ a^{1 + a} ＞ a^{1 + \frac{1}{a}} $.
评析：对于同底数的两个指数幂，可以构造一个指数函数，把它们看作这个指数函数的两个函数值，进而直接利用指数函数的单调性，通过自变量值的大小关系得到函数值的大小关系；对于不同底数的两个指数幂，不能直接利用指数函数的单调性比较它们的大小，往往需要借助中间量，例如第（2）题利用了中间量“1”. 利用指数函数的单调性，也可以通过函数值的大小关系来讨论自变量值的大小关系.
变式：已知 $ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{1 + m} ＞ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m - 5} $，求实数 $ m $ 的取值范围.
提示与答案：由指数函数 $ y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x $ 是减函数，得 $ 1 + m ＜ 3m - 5 $，解得 $ m ＞ 3 $，即 $ m $ 的取值范围是 $ (3, +\infty) $.