《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 画出函数 $ y = x + \frac{4}{x} $ 的图象，观察图象，说出它的单调区间，并证明你的结论.
分析：先根据图象说出函数 $ y = x + \frac{4}{x} $ 的单调区间，然后再进行证明. 证明的关键是作差变形，差式尽量变形成容易判断正负的几个简单因式的乘积形式.

答案：
解：函数 $ y = x + \frac{4}{x} $ 的图象如图 3.2 - 1 所示.

观察图象，可得如下结论.
函数 $ y = x + \frac{4}{x} $ 在区间 $ (-\infty, -2] $ 上单调递增，在区间 $ (-2, 0) $ 上单调递减，在区间 $ (0, 2) $ 上单调递减，在区间 $ [2, +\infty) $ 上单调递增.
证明：$ \forall x_1, x_2 \in (0, 2) $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，有
$\begin{aligned}f(x_1) - f(x_2) &= (x_1 + \frac{4}{x_1}) - (x_2 + \frac{4}{x_2})\\&= (x_1 - x_2) + (\frac{4}{x_1} - \frac{4}{x_2})\\&= (x_1 - x_2) + \frac{4(x_2 - x_1)}{x_1x_2}\\&= \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}(x_1x_2 - 4). \quad ①\end{aligned}$
由 $ x_1 ＜ x_2 $，得 $ x_1 - x_2 ＜ 0 $.
由 $ x_1, x_2 \in (0, 2) $，得 $ 0 ＜ x_1x_2 ＜ 4 $，$ x_1x_2 - 4 ＜ 0 $.
于是
$\frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}(x_1x_2 - 4) ＞ 0,$
即 $ f(x_1) ＞ f(x_2) $.
所以函数 $ y = x + \frac{4}{x} $ 在区间 $ (0, 2) $ 上单调递减.
$ \forall x_1, x_2 \in [2, +\infty) $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，由①式知
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}(x_1x_2 - 4).$
由 $ x_1 ＜ x_2 $，得 $ x_1 - x_2 ＜ 0 $.
由 $ x_1, x_2 \in [2, +\infty) $，得 $ x_1x_2 ＞ 4 $，即 $ x_1x_2 - 4 ＞ 0 $.
于是
$\frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}(x_1x_2 - 4) ＜ 0,$
即 $ f(x_1) ＜ f(x_2) $.
所以函数 $ y = x + \frac{4}{x} $ 在区间 $ [2, +\infty) $ 上单调递增.
同理可证：函数 $ y = x + \frac{4}{x} $ 在区间 $ (-\infty, -2] $ 上单调递增，在区间 $ (-2, 0) $ 上单调递减.
评析：研究一个函数的单调性，可先画出函数的图象，从形的角度观察、猜想，再利用函数单调性的定义进行严格证明. 证明函数单调性的一般步骤为“取值→作差变形→判断符号→得出结论”，其中在作差变形时，要尽量把差式化成几个简单因式的乘积形式，也可以把其中的因式化为几个完全平方式的和的形式，以便判断各个因式的正负，进而判断出差式的正负.
变式：讨论函数 $ y = x + \frac{a}{x} $（$ a ＞ 0 $）的单调性，并进行证明.
提示与答案：由 $ y = x + \frac{1}{x} $，$ y = x + \frac{4}{x} $ 的单调性可归纳猜测出函数 $ y = x + \frac{a}{x} $（$ a ＞ 0 $）在区间 $ (-\infty, -\sqrt{a}] $ 上单调递增，在区间 $ (-\sqrt{a}, 0) $ 上单调递减，在区间 $ (0, \sqrt{a}) $ 上单调递减，在区间 $ [\sqrt{a}, +\infty) $ 上单调递增. 与例题的证明类似，可根据函数单调性的定义加以证明.