《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 某人最近 $ 5 $ 年在一项个人爱好上投入的费用 $ y $(单位：千元)和时间 $ x $(单位：年)之间的关系如图所示，则下列选项中最符合 $ y $ 与 $ x $ 的关系的函数模型是(B).

A.$ y = ax + b $
B.$ y = ax^{2} + bx + c $
C.$ y = a^{x} $
D.$ y = \log_{a}x $

答案： 1.B
【解析】根据图象可知，散点大致在一条开口向下的抛
物线上，所以最符合 y 与 x 的关系的函数模型是二次函数.
故选B.

2. 某企业生产 A，B 两种产品. 根据市场调查与市场预测知 A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示.（注：图中的横坐标表示投资金额，纵坐标表示利润，单位均为万元）
（1）分别写出 A，B 两种产品的利润 $ y $ 关于投资金额 $ x $ 的函数解析式.
（2）该企业已筹集 $ 10 $ 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产. 怎样分配这 $ 10 $ 万元资金，才能使企业获得最大利润？最大利润为多少万元？

答案： 2.
(1)设投资了 x 万元，A 产品的利润为$ y_{1} $万元，B 产
品的利润为$ y_{2} $万元.由题意知$ y_{1}=k_{1}x(k_{1}≠0)，$$y_{2}=$
$k_{2}\sqrt{x}(k_{2}≠0).$由函数图象可知，$1=2k_{1}，$$4=\sqrt{4}k_{2}，$解得
$k_{1}=\frac{1}{2},k_{2}=2.$故$ y_{1}=\frac{1}{2}x(x≥0)，$$y_{2}=2\sqrt{x}(x≥0).$
(2)设 A 产品投入 x 万元资金，则 B 产品投入(10-x)万
元资金.设企业利润为 y 万元，则$ y=\frac{1}{2}x+2\sqrt{10-x}(0≤$
x≤10).令$ \sqrt{10-x}=t，$则$ y=\frac{10-t^{2}}{2}+2t=-\frac{1}{2}(t-2)^{2}+$
$7(0≤t≤\sqrt{10}).$当 t=2 时，y 取最大值7，此时 x=6.所以当 A
产品投入6万元资金，B 产品投入4万元资金时，该企业获得
最大利润，最大利润为7万元.

对于两个变量 $ x $，$ y $，有如下一组对应数据：

则下列函数中最能反映 $ y $ 与 $ x $ 的关系的是(C).

A.$ y = \log_{2}x $
B.$ y = 2x $
C.$ y = 2^{x} $
D.$ y = x^{2} $

答案： C