《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

3. 若 $a$，$b$，$c$，$d$ 均为实数，且 $ab ＜ 0$，$-\frac{c}{a} ＜ -\frac{d}{b}$，求证：$bc ＜ ad$.

答案： 3.因为ab ＜ 0，将不等式$-\frac{c}{a} ＜ -\frac{d}{b}$两边同时乘以ab，得 - bc ＞ - ad，所以bc ＜ ad。

4. 如果 $a ＜ b ＜ 0$，比较下列各组中两个代数式的大小：
(1) $ab$ 与 $b^{2}$；
(2) $\frac{1}{a^{2}b}$ 与 $\frac{1}{ab^{2}}$.

答案： 4.
(1)由a ＜ b ＜ 0，得a - b ＜ 0，所以ab - b² = b(a - b) ＞ 0，即ab ＞ b²。
(2)由a ＜ b ＜ 0，得b - a ＞ 0，a²b² ＞ 0，所以$\frac{1}{a²b} - \frac{1}{ab²} = \frac{b - a}{a²b²} ＞ 0，$即$\frac{1}{a²b} ＞ \frac{1}{ab²}。$

1. 设 $a$，$b \in \mathbf{R}$，则 “$a ＜ b ＜ 0$” 是 “$a^{2}b ＜ b^{2}a$” 的(A).

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.A
【解析】因为a ＜ b ＜ 0，所以ab ＞ 0，所以a - b ＜ 0。
又因为a²b - b²a = ab(a - b) ＜ 0，所以a²b ＜ b²a。
由a²b ＜ b²a可得a²b - b²a = ab(a - b) ＜ 0，不能得出a ＜ b ＜ 0。
所以“a ＜ b ＜ 0”是“a²b ＜ b²a”的充分不必要条件.

2. 已知 $x ＞ y ＞ 1$，求证：$x + \frac{1}{x} ＞ y + \frac{1}{y}$.

答案： 2.因为x ＞ y ＞ 1，所以x - y ＞ 0，xy ＞ 1.于是$x + \frac{1}{x} - (y + \frac{1}{y}) = \frac{(x - y)(xy - 1)}{xy} ＞ 0，$即$x + \frac{1}{x} ＞ y + \frac{1}{y}。$