《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 化简 $(\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}) · \tan \alpha$，其中 $\alpha$ 为第一象限角.
分析：由括号内两个根式的结构特点，注意到 $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^{2}\alpha = \sin^{2}\alpha$，分别对第一、第二个根式的被开方式的分子分母同乘 $(1 + \cos \alpha)$ 和 $(1 - \cos \alpha)$，可去根号，再将正切化为正弦、余弦即可化简.

答案： 解：原式 $= (\frac{\sqrt{(1 + \cos \alpha)^{2}}}{\sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}} - \frac{\sqrt{(1 - \cos \alpha)^{2}}}{\sqrt{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}}) · \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$= (\frac{\sqrt{(1 + \cos \alpha)^{2}}}{\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}} - \frac{\sqrt{(1 - \cos \alpha)^{2}}}{\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}}) · \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$= \frac{1 + \cos \alpha - (1 - \cos \alpha)}{\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}} · \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$= \frac{2\cos \alpha}{\sqrt{\sin^{2}\alpha}} · \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$= \frac{2\cos \alpha}{|\sin \alpha|} · \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
因为 $\alpha$ 是第一象限角，所以 $\sin \alpha ＞ 0$.
于是 原式 $= \frac{2\cos \alpha}{\sin \alpha} · \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2$.

1. 已知 $\sin \alpha = \frac{4}{5}$，并且 $\alpha$ 是第二象限角，那么 $\tan \alpha$ 的值为(A).

A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 1.A

2. 已知 $\triangle ABC$ 中，$\tan A = \frac{5}{12}$，那么 $\cos A$ 等于(D).

A.$-\frac{12}{13}$
B.$-\frac{5}{13}$
C.$\frac{5}{13}$
D.$\frac{12}{13}$

答案： 2.D
【解析】因为$\tan A=\frac{5}{12}＞0$，所以$A$为锐角.
由$\begin{cases}\sin A=\frac{5}{12},\\\cos^{2}A=1,\\\sin^{2}A+\cos^{2}A=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}\sin A=\frac{5}{13},\\\cos A=\frac{12}{13}.\end{cases}$
故选D.

3. 已知 $\frac{\pi}{2} ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{4}$，且 $\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{8}$，那么 $\sin \alpha + \cos \alpha$ 的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【解析】因为$\frac{\pi}{2}＜\alpha＜\frac{3\pi}{4}$，所以$\sin\alpha\in(\frac{\sqrt{2}}{2},1),\cos\alpha\in$
$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$.
又$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{8}$，所以$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}}$
$=\sqrt{1+2\sin\alpha\cos\alpha}=\sqrt{1+2×(-\frac{1}{8})}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. 已知 $\sin \alpha - 3\cos \alpha = 0$，那么 $\frac{\sin \alpha - 2\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ 的值是$\frac{1}{4}$.

答案： 4.$\frac{1}{4}$
【解析】因为$\sin\alpha-3\cos\alpha=0$，所以$\sin\alpha=3\cos\alpha$，
所以$\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{3\cos\alpha-2\cos\alpha}{3\cos\alpha+\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha}{4\cos\alpha}=\frac{1}{4}$.

5. 已知 $\frac{\pi}{2} ＜ \alpha ＜ \pi$，化简 $\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}} + \frac{\sin \alpha \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}}{1 - \cos^{2}\alpha}$.

答案： 5.因为$\frac{\pi}{2}＜\alpha＜\pi$，所以$\sin\alpha＞0,\cos\alpha＜0$，
所以$\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}+\frac{\sin\alpha\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}{1-\cos^{2}\alpha}$
$=\frac{\cos\alpha}{|\sin\alpha|}+\frac{\sin\alpha|\cos\alpha|}{\sin^{2}\alpha}$
$=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha}$
$=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$=0$.